856高等代数考研真题结果解析.docVIP

2011年硕士研究生入学考试试题答案及评分标准 考试科目代码： 856 考试科目名称： 高等代数 一.（40分，每题4分） 答：1.(C) 2.(B) 3.(D) 4.(D) 5.(C) 6.(B) 7.(A) 8.(B) 9.(A) 10.(D) 二.（20分） (1). 证明：如果, , 那么. (2). 命题“如果是的重根，那么是的重根”对吗？若你认为这个命题是对的，给出一个证明。若你认为不对，请举出反例。 答：(1). 如果与不互素，那么存在不可约多项式, 使并且.（5分）由后者可知，或者, 都与及矛盾。(10分) (2). 命题不对（4分）。反例：取, 则. 0是的1重根，但0不是的2重根。（10分） 三.（15分）已知行列式. 求，其中是元素的代数余子式。 解：考虑行列式，按它的第二列展开。（5分）由于和除了第二列外均相同，故，（10分）而计算可得 . 所以.（15分） 四．（20分）计算阶行列式. 解：各列加到第一列；按第一列展开。 原式 ……………………………..(10分) ……..………..………………..(15分) ……..………..………..………………..(18分) ……..………..………..………………..(20分) 五.（10分）写出一个三元齐次线性方程组，使它的基础解系为. 解：考虑以为解的方程， 那么.（3分） 把它看成的方程。得到基础解系..………....…………（7分） 由此得到方程组 它以为基础解系。.………....………….………....………….………..（10分） 六.（15分）设数域上的3维空间的线性变换在基下的矩阵为. 求线性变换在基下的矩阵。 解：线性变换在基下的矩阵为 ..………....…………（5分） 由于 ……....…………（10分） 所以 ……（15分） 七.（15分）设 是维欧氏空间的一个正交变换，证明 的不变子空间的正交补也是 的不变子空间。 证：设是的任意一个不变子空间，为的一组标准正交基，把它扩充成的一组标准正交基, , （5分）则 .（8分） 由于为正交变换，所以 也是标准正交基．（10分）又由于是的不变子空间，所以是的一组标准正交基，从而，（12分） 任取,那么. 故是的不变子空间．（15分） 八.（15分）设是维欧氏空间的一个线性变换．如果关于一个标准正交基的矩阵是实对称矩阵，那么是一个对称变换． 证：设关于的一个标准正交基的矩阵是对称的．令 是的任意向量．……..………..………..…………（2分） 那么 ……..………..………..…… …… （4分） ……..………..………..………....…………（6分） ……..………..………..………....…………（8分） ……..……………..………..………..………....…………（10分） 同样的计算可得 ……..………..………..………....…………（13分） 因为，所以。即是一个对称变换。…………（15分） 第1页（共4页）