12映射及函数.docVIP

§1.2 映射与函数 ·映射的概念 ·逆映射与复合映射 ·函数的概念 ·函数的基本性态 一、映射的概念 1. 定义一：设X 与 Y 是两个非空集合，若对 X中的每一个元素 x，均可找到 Y 中唯一确定的元素 y 与之对应，则称这个对应是集合X 到集合Y的一个映射，记为 f ，或者更详细地写为 将 x 的对应元 y 记作 并称 y 为映射 f 下 x 的像，而 x 称为映射 f 下 y 的原像(或称为逆像). 集合 X 称为映射 f 的定义域，记作 ，而 X 的所有元素的像f (x) 的集合 称为映射 f 的值域，记为 例1 设 A={商场中的所有商品 }，B={商场中商品九月份的销量 }，则 是一个映射， 例2 设 A={1，2，3 }，B={4，5，6，7 }，则 是一个映射， 概括起来，构成一个映射必须具备下列三个基本要素： ，有唯一 确定的 y=f (x) 与之对应. 需要指出的是：（1）映射要求元素的像必须是唯一的. （2）映射并不要求元素的逆像也是唯一的. 2. 定义二：设 f 是集合X 到集合Y 的一个映射，若 f 的逆像也是唯一的，即对X 中的任意两个不同元素 x1 ≠x2 ，它们的像 y1 与 y2 也满足 y1 ≠ y2 ，则称 f 为单射；如果映射 f 满足 Rf = Y ，则称 f 为满射；如果映射 f 既是单射，又是满射，则称 f 为双射（又称一一对应 ）. 二、逆映射与复合映射 1.逆映射：如果映射 f 既是单射，又是满射，则 逆映射，， 例3 设 A={1，2，3 }，B={4，5，6}，则 既是单射，又是满射，存在逆映射， 例4 设 A=[0，π]，B=[－1，1]，则 既是单射，又是满射，存在逆映射 2. 复合映射： 和 那就可以构造出一个新的对应关系 复合映射. 例5 因此不能构成复合映射. 但若将 g 的定义域缩小，就有可能构成复合映射. 比如令 ， 则可以构成复合映射 . 三、函数的概念 自变量 因变量 D 称为定义域，记作Df ，即 Df = D . 函数值的全体构成的数集称为值域，记为： 2. 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是使表达式有意义的自变量能取的一切实数值. 【例1】 的定义域为，值域为。 【例2】 的定义域为，值域为。 【例3】 的定义域为，值域为。 【例4】 的定义域为，的定义域为，从而显然。 若对每一个，只有唯一的一个与之对应，就称函数为单值函数；若有不止一个与之对应，就称为多值函数。如：等。以后若不特别声明，只讨论单值函数。 函数的表示法有三种：解析法、图象法、列表法。其中解析法较普遍，它是借助于数学式子来表示对应法则，上例均为解析法， 定义: 例3的图形如下图 3.几个特殊的函数举例 (1) 符号函数 (2) 取整函数 y=[x]， [x]表示不超过 x 的最大整数 显然 (3) 狄利克雷函数 (4) 取最值函数 分段函数 把定义域分成若干个区间, 在不同的区间内用不同的数学式子来表示的函数称为分段函数. 例如符号函数: 例1 解 综上，有 例2 求函数的定义域 【解】 从函数式子中可看出需考虑: 根式内非负、分母不为零、对数真数大于零等三种情况，取它们的公共部分, 即求方程组 的解, 得 . 四、函数的几种特性 1．函数的奇偶性(parity): 如果函数的定义域为（这里）, 并且对任意的, 恒有, 则称为奇函数; 如果对任意的, 恒有, 则称为偶函数. 例如在内是偶函数; 而在内是奇函数. 其实对幂函数, 当为偶数时, 在定义域内是偶函数; 当为奇数时, 在定义域内是奇函数. 显然偶函数的图形关于轴对称; 奇函数的图形关于坐标原点对称（如图1-5所示）. 例1 判定函数与函数的奇偶性. 【解】 因为, 所以在定义域内是偶函数; 又因为, 所以在定义域内是奇函数. 2．函数的周期性(periodicity): 设函数,,若存在，使任意的,,满足 ， 图1－5 则称为周期函数(如图1－5),叫函数的周期,满足的最小正数如果存在，则称其为函数的最小正周期．通常说函数有周期,就是指的最小正周期. ，等一些三角函数都是常见的周期函数．当函数以为周期时，函数有周期(习题1.1第7题). 例2 解 故是周期函数，且是它的一个周期. 3．函数的单调性(monotonicity): 如果函数对于某区间内的任何两点, 总成立着