定义与基本性质欧氏空间.ppt

例2 用C[a,b]表示区间[a,b]上所有连续复值函数组成的线性空间，规定 与实内积空间类似，酉空间V 中由于有了内积的 定义3 酉空间V中，两个非零?, ?的夹角?, ? 与实内积空间一样，我们可以证明在酉空间中， n 维酉空间V 中，向量组η1,η2,…,ηn是V 的一个 利用标准正交基，向量的坐标的分量可以用内积 n维酉空间V 中，向量组η1,η2,…,ηn是V 的一个 2.向量到子空间的距离 (1) 固定向量 ，如果与子空间 中每个向量垂直， 如果 (2) 向量到子空间中的各向量的距离以垂线为最短. 称 垂直于子空间 记为 则 设 是 中 的满足 的向量， 如图示意，对给定 ， （1） 对 有 要证明 因 是子空间， 则 由勾股定理 即（1）成立. 证明： 故 例 证明：向量 是向量 在子空间 上的内射影的充要条件是:对 有 例. 已知某种材料在生产过程中的废品率 与某种 我们想找出 对 的一个近似公式. 中 与相应的 的几次数值： 1.问题提出 化学成份 有关.下列表中记载了某工厂生产 二. 最小二乘法 0.2 3.6 0.4 0.6 0.8 1.0 3.8 3.7 4.2 3.9 4.1 4.0 4.3 . . . . . . . 解 把表中数值画出图来看，发现它的变化趋势 近于一条直线.因此我们决定选取 的一次式 来表达.当然最好能选到适当的 使得 下面的等式 任何 代入上面各式 于是想找到 使得上面各式的误差 即找 使 最小. 都成立.实际上是不可能的。 都发生些误差. 的平方和最小， 这里讨论的是误差的平方即二乘方，所以称为 最小二乘法， 现考虑一般情况 （2） 即任意 都可能使 （3） 不等于零，设法找实数组 使（3）最小， 这样的 为方程组（2）的最小二乘解， 此问题叫最小二乘法问题. 设有线性方程组 可能无解， 2.问题的解决 设 （4） 用距离的概念， 由（4）知 （3）就是 找 使（3）最小，等价于找子空间 中向量 使 到它的距离 比到 中其它向量的距离都短. 设 这等价于 （5） 即 这样（5）等价于 或 （6） 为此必 （6）就是最小二乘解所满足的代数方程. 即为 最小二乘解 所满足的方程就是 现回到前面的例子， 易知 解得 （取三位有效数字）. 二、 线性变换的简单性质 二、酉空间中的重要结论 一、酉空间定义 一、酉空间定义 欧氏空间是专对实数域上线性空间而讨论的. 酉空间实际就是复数域上的欧氏空间. 定义 1 设 V 是复数域上的线性空间，在 V 上定义了一个二元复函数，称为内积，记作 (? , ?), 它具有以下性质： 1) (? , ?) = (? , ?) ，这里 (? , ?) 是 (? , ?) 的 共轭复数； 2) (k? , ?) = k(? , ?) ; 3) (? + ? , ? ) = (? , ? ) + (? , ? ) ; 4) (? , ? ) 是非负实数，且 (? , ? ) =0 当且仅当 ? =0 . 这里 ? , ? , ? 是 V 中任意的向量，k 为任意复数， 这样的线性空间称为酉空间. 例1 在线性空间 Cn 中，对向量 ? = (a1 , a2 , … , an) , ? = (b1 , b2 , … , bn) , 定义内积为 (? , ?) = a1 b1 + a2 b2 + … + an bn . (1) 显然，内积 (1) 满足定义 15 中的条件. 这样 Cn 就 成为一个酉空间. 是C[a,b]上的一个内积，此时 C[a,b]成为一个酉空间. 容易验证， 二、酉空间中的重要结论 由于酉空间的讨论与欧氏空间的讨论很相似, 有一套平行的理论，因此这儿只简单地列出重要的 结论，而不详细论证. 首先由内积的定义可得到 1) (? , k?) = k (? , ?) . 2) (? , ? + ? ) = (? , ? ) + (? , ? ) . 概念，从而就有长度、角度、正交、距离等度量概念. 定义2 非负实数 叫做向量 ? 的长度， 记为 |?| . 显然|0|=0，?≠0时， |?|0.容易证明： 定理1 柯西 - 布涅柯夫斯基不等式仍然成立， 即对任意的向量 ? , ? 有 | (? , ?) | ? | ? | |