对集合的一点新认识.docVIP

对集合的一点新认识 对集合一点新认识 ? 【摘要】：? 空集（?）是一类特殊集合，在集合研究中处于基础地位。本文运用逻辑演绎方法，从理论上通过对空集的重新认识阐述，叙述了空集的现行概念、与非空集（?）关系及悖论性；初步定义“嵌套集”的相关概念及推广。 【关键词】： ??空集；悖论性；嵌套性；循环节 ? 一、对空集（?）的认识 1．空集（?）的现有定义 不含任何元素的集合称为空集，记作?。 2.空集（?）与非空集（?）之间的关系 现行教材的规定： 空集（?）是一切集合的子集；空集（?）是一切非空集（?）的真子集。 空集（?）与非空集（?）之间定义了2种关系，即“子集”，“ 真子集”关系；或? c ? ???? c ? ? 3．悖论性，“空集的二重性” 若给定空集（?）与集合a={1，2，?}，那么存在如下命题： （I） ? a ，理由：集合的定义； （II）? c a 或? c ?a，理由：空集的性质（规定）。 前者反映集合与元素之间关系的唯一性；要么属于，要么不属于；后者反映集合与集合之间关系的明确性，定义出“包含”、“不包含”、“真包含”等意义。 由此说明空集（?）的二元性：在同一条件下，既是集合又是元素，从而说明集合、元素概念的矛盾性（并不完备）。 二、对非空集（?）的认识 给定2个集合a={1，2}，B={1，2，a}。试确定二者之间的关系。显然，从集合与元素之间的关系出发，有a B；若从集合与集合之间的关系考虑，a与B之间满足“真包含”关系，即B c a。前者肯定了集合与元素之间的关系，后者肯定了集合与集合之间的关系。那么在同一条件下集a与集B究竟应该明确如何关系呢？目前中学教材尚无定论。当问题出现时，老师和学生就不好把握。 三、“属于”“ ? ”，“子集”“ c ”，“真子集”“ c? ”在同一条件下的地位分析 ?? ?[例证]：给定集合a、B， a={1，2} B={1，2，a} 从现有的教材我们可以看出，集合与元素之间的从属关系在前，集合与集合之间的（真）子集关系在后。这2种关系是相对独立的。 讨论： 1o.如果肯定了a ?? B,那么就否定了a与B的子集关系； 2o.如果肯定了a c B,则否定了a B，也就是不能肯定a与B的从属关系，进而否定了集合的定义。 分析： 由于集合与元素之间的从属关系在前，是铺垫、是基石，因而先要作出肯定。为了避开或解决它们之间的矛盾，排除以子集为元素的情况。我们规定a c B任意a a,则a B, 且a ?B，这样就明确了a与B资集关系的唯一性。 四、嵌套集 定义集合a={1,2,B},B=a.则a为嵌套集。其中｛1，2｝为嵌套集的循环节。 例证推演： 设集合a=｛1，2，B｝,且B=a；则集a可作如下的推演， a={1,2,B}={1,2,{1,2,B}}={1,2{1,2{1,2,B}}}=…… 这里集a中存在嵌套元素B。 [特例] 考察数列｛an｝, an= (有n 个“ ”)，求an→?(n→ ). 解法一：利用代数方程求解 令a= ，a=an 则有a=B(n→ )。注意，这里a=B是隐含条件； 对a= 变形得a2=2B，利用a=B，求出a=2. ? 解法二：利用等比数列性质公式求值 an= 2[ ]，等比数列｛an｝的首项和公比都是1/2，无穷项之和S=1，因此an→2? (n→ ) .于是得到 =2. 从以上两种证法比较看出，利用代数方程求解（嵌套分离）方法较为简单。 像这种循环根式如上例 化简都可以通过循环节来建立代数方程求解。 思 考： 根式化简 T1: ?（提示：由a2=a?a得到a=a ） ? T2: （提示：由a4=22?3?B得到a= ） ? T3: （提示：由a6=23?3?B得到a= ?） ? 求解循环根式重要的是找出循环节；如T1式,循环节 ；T2式, 循环节 ；T3式,循环节 。然后建立代数方程求解。 ? 作者：老**职业技术学校 陈中林