地球物理反演理论-广义反演法pps-武汉大学.pptVIP

设线性反演问题： 如果把G看成一个映射算子，那么正演问题 就是将模型空间 中的m模型通过算子G 映射到数据空间 中的观测数据d通过映 射 到模型空间中的模型m的一种运算。 由矩阵理论可知，若G是非奇异矩阵，那么 。这里 是G的逆矩阵，且有： 在G是奇异矩阵的情况下，G的逆 并不存 在，故我们称 为矩阵G的广义逆。所谓广 义逆是矩阵G在常规意义下的逆之推广。普 通逆矩阵只是广义逆矩阵的一种特殊形式。 显然，在奇异矩阵情况下，： -----实对称矩阵的正交分解; 任何一个实对称矩阵G均可分解为三个矩阵 之连乘积，第一和第三个矩阵分别为G的特 征向量矩阵U和它的转置，而第二个矩阵则 是G的特征值构成的对角线矩阵 。 ------非奇异且非对称矩阵的分解; ----- Lanczos的奇异值分解 ; （3.25） 任何一个MxN阶的矩阵G，均可分解为 (3.25）式，即可分解为三个矩阵之乘积。 取： （3.29） 为矩阵G的逆算子，它被Lanczos称为“自然 逆”（natural inverse）。Jackson又称它为 Lanczos逆。尔后，大多数学者（如Aki）， 包括Penros在内都把它称为广义逆。而把基 于（3.29）式建立起来的解线性反演问题的 方法统称为广义反演法. 因而Gm=d的解为： 可以证明（3.29）式定义的自然逆满足 Penros给出的四个条件。 设线性反演问题为：Gm=d 根据自然逆的定义，有： 下面，我们分如下四种情况分别讨论。 （1）当M=N=r时， 和 均不存在，即 和 均不存在，即 和 都是标准的正交矩阵且： 因此， （2）当 时，Gm=d是超定方程。 不复存在，但 存在，此时 是正交矩阵，即： 而U，是半正交矩阵，即： 因此，在这种情况下，广义反演法的解为： （3）当 时，Gm=d是欠定方程。此时， 不复存在，而 存在。 是正交矩阵，且： 而 是半正交矩阵，即： 因此，广义反演法的解为： 这就是欠定问题的最小长度解，而且解是惟 一的。 （4）当 时， 和 都存在。因此，可以把广义反演解看成是同时在U空间极小 和在V空间极小 的结果。 为了帮助大家理解奇异值分解和广义逆的意 义，现在分析两个简单的例子。 例1: 例2: 假定已经求得模型，即： 这里，用 表示用广义反演法构制的模型 ，以示和真实模型m之区别。试问， 能拟 合观测数据吗？也就是说，把代入线性方程 D=Gm能获得与d相同的重建数据吗？ 若用 表示重建数据，则有： 式中： 是 阶方阵，叫数据分辨矩阵（data resolution matrix）或信息密度矩阵（ information density matrix）。它是拟合观 测数据好坏程度的标志， 如图所示，矩阵F的第i行中诸要素 越接近 于1，则 越接近于 ，即分辨力越高，因 为： 由于数据分辨矩阵F主对角线要素 表明 接近 的程度，因此又定义F的对角线矩阵 ，即： 为重要性（importance）矩阵。 当 时， 。当 时，即在纯 超定情况下， ，才有 。这时R的 分辨力最高。 当 存在时， 。所以 。 的 每一个要素 ,均可视为m各要素加权的结 果，这是因为： 如果 ，虽有峰值，但变化比较缓慢，或者其峰 值不在R的主对角线上，则R的分辨力不高。分辨力越低， 说明模型参数之间越存在相关。 和数据分辨矩阵相似，参数分辨矩阵也只是数据核G和反 演时所加先验信息的函数，而与观测数据d无关，因此，R 矩阵也是实验设计的重要依据。 同样，可以定义： 为分辨核。 越小，R矩阵的分辨能力越高。一般取其倒数 作为分辨能力的（欲称分辨力）的定量度量。 1. 特征