739661058_不等式的证明方法论文.docVIP

PAGE 编号：09005110143 南阳师范学院2013届毕业生 毕业论文（设计） 题 目： 不等式证明的方法探究 完 成 人： 于 翠 华 班 级： 09—01 学 制： 4年 专 业： 数学与应用数学专业 指导教师： 华 柳 青 完成日期： 2013—4—15 目 录 摘要（1） 0引言（1） 1不等式的概念 （1） 2不等式的证明方法（2） 2.1比较法证明不等式（2） 2.2分析法证明不等式（3） 2.3综合法证明不等式（4） 2.4反证法证明不等式（5） 2.5放缩法证明不等式（6） 2.6换元法证明不等式（7） 2.7判别式法证明不等式（9） 2.8数学归纳法证明不等式（9） 3不等式证明方法的灵活应用 （10） 4小结 （12） 参考文献 （12） Abstract （13） 不等式证明的方法探究 作 者：于翠华 指导老师：华柳青 摘要：本文通过举例综述了证明不等式的几种常用方法，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法等方法，充分体现了不等式证明方法的灵活多样性，技巧性和综合性，以此激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的探索精神. 关键词：不等式；证明方法；方法探究；使用价值 0 引言 不等式在初中数学和高中数学中，都占据着很重要的地位，而不等式的证明更为重要，因为它是培养学生逻辑思维能力的最重要的方法之一．其证明的方法较多，灵活性较强，涉及的知识面较广．然而在各种考试中许多学生对于不等式证明的题型却一筹莫展．本文针对不等式证明的多种方法进行探讨，研究，总结每种方法的特点，适用性.在此基础上引导学生快速找到正确的解题方法，创造一种学习与探索的数学学习氛围，激发学生对数学的学习兴趣，培养学生的探索精神.这正与我国全面实施的素质教育理念是相一致的．对于将来从事中学数学的教育工作也有着重要意义． 1 不等式的概念 不等式是通过“＜”或“＞”或“”或“”等不等号，将两个解析式联结起来所成的式子，是不等号两边解析式大小关系的描述． 不等式一般分为严格不等式和非严格不等式，使用“＜”或“＞”不等号联结的不等式称为严格不等式，用“≤”或“≥”不等号联结的不等式称为非严格不等式，或广义不等式.在这篇文章中，不等式中的字母代表的都是实数.不等式的一般形式如:其中等字母代表的都是实数；符号可以表示“＜”，“＞”，“≤”，“≥”四种不等号中的任何一个． 2 不等式证明的几种方法 不等式证明的题型变化多端，它的证明方法更是灵活多样，其灵活性、技巧性和综合性都比较强.证明不等式的方法有很多，可用比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、数学归纳法等多种方法.其每种方法各具特点但也相互联系，彼此渗透. 2.1 比较法证明不等式 比较法是一种证明不等式的最基本的方法，此法体现了化归的思想方法，具体有“作差法”和“作商法”两种．其中作差法的基本证明思想是把难以比较的式子变成其差与0比较大小，即 “”，其一般步骤为先作差，然后将差变形，再判断差值的正负，最后得出结论．而作商法是把难以比较的式子变成商与l比较大小即：若则“”．其一般步骤为先作商，然后将商变形，再将其商值与1比较大小，最后得出结论．一般情况下，若求证的不等式移项后容易分解或配成平方，则常用作差比较法；若求证的不等式两端是乘积形式（可化为乘积形式）或幂指数形式时，则常用作商比较法． 2.1.1 做差比较法 例1 已知为实数，求证：． 证明 所以原不等式成立.即 . 变形是求差法的关键，配方和因式分解是其常用的变形手段，为了便于判断“差式”的符号，求差后“变形”的方法常见的有以下几种： (1)差式变形为常数，或者变形为一个常数与几个平方和的形式，常用配方法，利用实数特征判断差的符号. (2)将差变为几个因式的积的形式，方法是不限定的，常用分解因式法，有时候差的形式还可以是不规则形式，如：把差变形为：“”也能判断它是正的，如：三角式子最后化差变为“-2”也能判断它为负． 2.1.2 做商比较法 例2 求证： . 证明