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分类讨论思想在圆中的体现 ? 一、点与圆的位置关系不唯一性 ? 　　例1.若所在⊙O所在平面内一点P到⊙O上的点的最大距离为a，最小距离为b（a＞b），则此圆的半径为（???）。 ? （A）???（B）??（C）或????（D）a+b或a－b ? 分析：P可能在圆内，也可能在圆外。 ? 　　　　　??????? ? ?????图1—1??????????????????????图1—2 ⑴P在圆内时。如图1—1。 ?连接O、P所在的直线交⊙O于A、B。 ?则PA=a，PB=b??直径AB=PA+PB=a+b，半径OA=OB=AB=（a+b） ?⑵P在圆外时。如图1—2。 ?此时直径AB=PA－PB=a－b，半径OA=OB=AB=（a－b） ?由⑴⑵可知，应选（C）。 ?　二、弦与弦的位置关系不唯一性 ?　　例2.⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB=6cm，CD=8cm，则AB与CD之间的距离是（???）。 （A）7cm????（B）8cm???（C）7cm或1cm?????（D1cm ?分析：弦AB与CD可能在圆心的同侧，也可能在圆心的异侧。 ?　　　　　　　　　　　　　 ??????????????图2—1?????????????????????????图2—2 ?⑴弦AB与CD在圆心的同侧。如图2—1。 过O作弦AB的垂线，交AB于M，交CD于N。连接OB，OD。 ?∵AB∥CD，OM⊥AB，ON⊥CD 由垂径定理，BM=AB=3cm，DN=CD=4cm，又OB=OD=5cm ?在Rt△BMO中，OM==4cm，同理ON=3cm ?∴MN= OM－ON=4－3=1 cm ?⑵弦AB与CD在圆心的异侧。如图2—2。 此时，MN=OM+ON=4+3=7cm????????故选（C）。 　　例3．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，AB=2，AC=，在图中画出弦AD，使AD等于1，并求出∠CAD的度数。 分析：弦AC与弦AD可能在直径AB的同侧，可能在直径AB的异侧。 ?　　　　　 ?⑴弦AC与弦AD在直径AB的同侧。如图3—1。 ?连OC、OD。由OC=OD=AB=1，AC= ?∴OC+OD=AC?∴∠AOC=90°，∠CAO=∠ACO=45° ?又OA=OD=AD，∴∠DAO=60° ∴∠DAC=∠DAO－∠CAO=15° ⑵弦AC与弦AD在直径AB的异侧。 此时，∠DAC=∠DAO+∠CAO=115° ?　　三、点在直径上的位置不唯一性 　　例4．已知⊙O的直径AB=10cm，弦CD⊥AB于点于点M。若OM：OA=3：5，则弦AC的长为多少？ ?分析：垂足M可能在半径OA上，也可能在半径OB上。 ? ?⑴M在半径OA上。如图4—1。 连接OC。OC=OA=AB=5cm，??又OM：OA=3：5，∴OM=3cm ?∵AB是直径，弦CD⊥AB???? ?∴在Rt△OMC中，? MC==4cm ?又AM=OA－OM=2cm ?∴在Rt△AMC中，AC===2（cm） ?⑵M在半径OB上。如图4—2. ?此时，AM=OA+OM=8cm ?AC===4（cm） 四、弦所对圆周角的不唯一性 　　例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（???）。 30°或60°（B）60°（C）150°（D）30°或150° （A）??????? （B）?????? ?因此，一条弦所对的圆周角也有两个，并且这两个圆周角互补。 ?如图5。劣弧所对的角为∠ACB，优弧所对的角为∠ADB。 ? 由AB=0A=OB，∴∠AOB=60° ∴∠ACB=∠AOB=30° ?∠ADB=（360°－∠AOB）=（360°－60°）=150°???故选（D） ?　　五、圆与圆的位置关系不唯一性 ?　　例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是（???）。 ?5cm?（B）11cm?（C）3cm?（D）11cm或5cm （A）??????? （B）?????? ?　　　　　　?????????? ⑴两圆外切。如图6—1。AB=8+3=11cm ⑵两圆内切。如图6—2。AB=8－3=5cm????故选（D） ?　　六、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一性 ?　　例7．已知相交两圆的半径分别为5cm和4cm，公共弦长6cm，则这两个圆的圆心距为???????????。 分析：两圆圆心可能在公共弦的同侧，也可能在公共弦的异侧。 ?⑴圆心在公共弦的异侧。如图7—1。 ?连接OA，OA。由圆的对称性，O?O垂直平分公共弦AB。?∴AD=AB=3 在Rt△A OD中，OD==4 ?在Rt△A OD中，OD== ?∴O?O= OD+ OD=4+ ?⑵圆心在公共弦的同侧。如图7—2。 此时，O?O= OD－?OD=4－ 故这