光信息处理习题第四章.doc

第四章 习题解答 4.1 若光波的波长宽度为Δ?，频率宽度为Δ?，试证明：Δ???Δ? ?。设光波波长为????.?nm， Δ????????nm，试计算它的频宽Δ?。若把光谱分布看成是矩形线型，那么相干长度lc?? 证明：?? 4.2 设迈克尔逊干涉仪所用的光源为??????2c?1.5?104赫，lc?ctc?c?20?103(m) ??????.?nm，?2????.?nm的钠双线，每一谱线的宽度为 （1）试求光场的复自相干度的模。（2）当移动一臂时，cos???? 由于?????，故第一个因子是?的慢变化非周期函数，第二个因子是?的快变化周期函数。相干时间由第一个因子决定，它的第一个零点出现在?c?的地方，?c为相干时间，故相干长度 ?2?2 lc?c?c?????????c （2）可见到的条纹总数N。 ?lc ??5893??58930 ??0.1 ???，故 （3）复相干度的模中第二个因子的变化周期? 可见度的变化周期数n??c????6????60 ?????0.1 每个周期内的条纹数? N58930??982 n60 4.3假定气体激光器以N个等强度的纵模振荡，其归一化功率谱密度可表示为 1 ?????? gN 式中，Δ?N???n??N???????nΔ?? ?????是纵模间隔，?????为中心频率并假定N为奇数。（1）证明复自相干度的模为 (2)若Nsin?N?Δ??? Nsin?Δ??，画出??，且0????????与Δ??的关系曲线。 证明：（1），复相干度?（?）与归一化功率谱密度即光源的光谱特性间具有下列关系： ?n?1?e?j2????(N?1)/2?1?e?j2???? 因而 1exp(?j2?)?exp?j2????(N?1)/2??exp??j2?????N?1?/2??exp?j2????(N?1)/2?N?exp??j2????(N?1)/2?/?2?exp(j2????)?exp(?j2????)?? 1?j2?cos2????(N?1)/2?cos2????(N?1)/2 = eN1?cos2????????? =1?j2?sin????NeNsin???? 复相干度的包络则为 ?????????sin????N Nsin???? （2），当N=3时， 2 ? 其?????sin3????3sin???? ????曲线如图1所示。 图1 多模激光复相干度包络曲线（N=3） 4.4 在衍射实验中采用一个均匀非相干光源，波长 ??? ?550nm，紧靠光源之前放置一个直径1mm的小圆孔，若希望对远处直径为1mm的圆孔产生近似相干的照明，求衍射孔径到光源的最小距离。 答：用做衍射实验的相干度应当用上题中提到的沃尔夫用的阈值，由理想值1下降到0.88为最大容许偏离值，因而相干面积直径与光源半径之间满足下列关系： d 则 z?0.16z a?da1?0.5??103?5.68m 0.160.16?550 即光源小孔与衍射小孔之间最小相距5.68m才能在衍射实验中较好地满足相干照明的要求。 4.5 用迈克尔逊测星干涉仪测量距离地面1光年(约10m) 的一颗星的直径.当反射镜M?与M?之间距离调到16 6m时,干涉条纹消失.若平均波长答：φ?Dα?D ?550nm，求这颗星的直径。 ?.???.????????????km??.?????km。 ?d???? 4.6 在杨氏双孔干涉实验中(图4.17),用缝宽为a的准单色非相干缝光源照明,其均匀分布的辐射光强为I?，中心波长????nm.(1)写出距照明狭缝z处的间距为d的双孔Q1和Q?（不考虑孔的大小）之间的复相 3 干因子表达式。（2）若a（3）若z和??.?mm,z??m,d??mm，求观察屏上的杨氏干涉条纹的对比度。 要求观察屏上干涉条纹的对比度为0.41, 缝光源的宽度应为多少?(4)若缝光源用两个相距为d仍然取上述值， a的准单色点光源代替, 如何表达Q1和Q?两点之间的复相干因子? S’ 图 题4.6 答：根据范西特-泽尼克定理，当光源本身线度以及观察区域线度都比二者距离z小得多时，观察区域上复相干因子正比于光源强度分布的归一化傅里叶变换。本题的条件能够满足这个要求。因而有 x1???πexp?jψ???I0rect?x?Δξ?y?Δη???exp??j?dx?dy??a??z???μ?Λξ,Δη??1???dxdy????I0rect??a? ??x1???π?π??exp?jψ??rect??exp??jx?Δξ?dx??exp??jy?Δη???dy??a??z????z?????x1?????j?πyΔη?dy??rectdxexp??