七下探索轴对称的性质PA轴对称—最短路线问题.doc

七下7.3探索轴对称的性质PA轴对称—最短路线问题 解答  七下7.3探索轴对称的性质PA轴对称—最短路线问题 解答 　 一．解答题（共30小题） 1．（2012?聊城一模）在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水． 某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点P）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A′与点A关于l对称，A′B与l交于点P）． 观察计算：（1）在方案一中，d1=　_________　km（用含a的式子表示）； （2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=　_________　km（用含a的式子表示）． 探索归纳：（1）①当a=4时，比较大小：d1　_________　d2（填“＞”、“=”或“＜”）； ②当a=6时，比较大小：d1　_________　d2（填“＞”、“=”或“＜”）； （2）请你参考方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？ 方法指导：当不易直接比较两个正数m与n的大小时，可以对它们的平方进行比较： ∵m2﹣n2=（m+n）（m﹣n），m+n＞0， ∴（m2﹣n2）与（m﹣n）的符号相同． 当m2﹣n2＞0时，m﹣n＞0，即m＞n； 当m2﹣n2=0时，m﹣n=0，即m=n； 当m2﹣n2＜0时，m﹣n＜0，即m＜n． 　 2．（2012?溧水县一模）七年级我们曾学过“两点之间线段最短”的知识，常可利用它来解决两条线段和最小的相关问题，下面是大家非常熟悉的一道习题： 如图1，已知，A，B在直线l的同一侧，在l上求作一点，使得PA+PB最小． 我们只要作点B关于l的对称点B′，（如图2所示）根据对称性可知，PB=PB．因此，求AP+BP最小就相当于求AP+PB′最小，显然当A、P、B′在一条直线上时AP+PB′最小，因此连接AB，与直线l的交点就是要求的点P． 有很多问题都可用类似的方法去思考解决． 探究： （1）如图3，正方形ABCD的边长为2，E为BC的中点，P是BD上一动点．连接EP，CP，则EP+CP的最小值是　_________　； 运用： （2）如图4，平面直角坐标系中有三点A（6，4）、B（4，6）、C（0，2），在x轴上找一点D，使得四边形ABCD的周长最小，则点D的坐标应该是　_________　； 操作： （3）如图5，A是锐角MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON上各求作一点B，C，组成△ABC，使△ABC周长最小．（不写作法，保留作图痕迹） 　 3．（2011?岳池县模拟）如图，欲在河边L上建一个水泵站P，使P到张庄A、李庄B所用水管最短．试用尺规作图法确定水泵站P的修建位置（不写作法，但须保留清晰的作图痕迹） 　 4．（2010?莆田质检）某课题组在探究“泵站问题”时抽象出数学模型： 直线l同旁有两个定点A、B，在直线l上存在点P，使得PA+PB的值最小．解法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点即为P，且PA+PB的最小值为A′B． 请利用上述模型解决下列问题： （1）几何应用：如图1，等腰直角三角形ABC的直角边长为2，E是斜边AB的中点，P是AC边上的一动点，则PB+PE的最小值为　_________　； （2）几何拓展：如图2，△ABC中，AB=2，∠BAC=30°，若在AC、AB上各取一点M、N使BM+MN的值最小，求这个最小值； （3）代数应用：求代数式（0≤x≤4）的最小值． 　 5．（2010?江干区模拟）已知A，B两点在直线l的同侧，试用直尺（没有刻度）和圆规，在l上找两点C和D（CD的长度为定值a），使得AC+CD+DB最短．（不要求写画法） 　 6．（2009?昌平区一模）请阅读下列材料： 问题：如图1，点A，B在直线l的同侧，在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小． 小明的思路是：如图2，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，则A′B与直线l的交点P即为所求． 请你参考小明同学的思路，探究并解决下列问题： （1）如图3，在图2的基础上，设AA′与直线l的交点为C，过点B作BD⊥l，垂足为D．若CP=1，PD=2，AC=1，写出AP+BP的值； （2）将（1）中的条件“AC=1”去掉，换成“BD=4﹣AC”，其它条件不变，写出此时AP+BP的值； （3）请结合图形，直接写出的最小值． 　 7．河北三元公司响应市政府“打造食品安全最放心