2013年高考数学压轴题突破训练--数列(含详解).doc

高考数学压轴题突破训练：数列 1. 设函数 ． （1）若在定义域内为单调函数，求的取值范围； （2）证明：①； ② 1.解：（1）　　　 ∵在单调， ∴≤０或≥０在恒成立， 即或在恒成立， ∴≤０或≥1． （2）① 设=，则，　 当时，=0 当时，＞0 ∴递增，当时，＜0 ∴递减， ∴ ∴=≤0 即（＞0） ② 由①， 又＞ ∴左边=≤ 右边 ∴原不等式成立 2. 已知，数列满足，。（） 判断并证明函数的单调性； (2)数列满足，为的前项和。证明： 2.解：（1）≥0，仅当时，，故在R上单调递增。 （2）为奇函数，,由（1）知当时，,即也就是在上恒成立。 由已知得 所以 所以 = 3. 已知数列的前项和为，若， （1）证明数列为等差数列，并求其通项公式; （2）令，①当为何正整数值时，：②若对一切正整数，总有，求的取值范围。 3.解：（1）令，，即 由 ∵，∴， 即数列是以为首项、为公差的等差数列， ∴ （2）①，即 ②∵，又∵时， ∴各项中数值最大为，∵对一切正整数，总有恒成立，因此 4. 已知数列中，，且是函数的一个极值点。 （1）求数列的通项公式； （2）若点Pn的坐标为，过函数图象上的点的切线始终与平行（点O为坐标原点）；求证：当时，不等式对成立。 4.解：（1） ∴ ∴ ∴，… ∴，∴ 时， ∴ 综上 （2）由得 ∴ ∵， ∴ ∴ 3.(2011年高考浙江卷理科19)（本题满分14分）已知公差不为0的等差数列的首项 (),设数列的前n项和为，且，，成等比数列（Ⅰ）求数列的通项公式及（Ⅱ）记，，当时，试比较与的大小. 【解析】 则 ， （Ⅱ） 因为，所以 当时， 即； 所以当时，；当时， . 5. 已知，，数列满足，， ． （Ⅰ）求证：数列是等比数列； （Ⅱ）当n取何值时，取最大值，并求出最大值； （III）若对任意恒成立，求实数的取值范围 5.解：（I）∵，，， ∴． 即． 又，可知对任何，，所以． ∵， ∴是以为首项，公比为的等比数列． （II）由（I）可知= （）． ∴． ． 当n=7时，，； 当n7时，，； 当n7时，，． ∴当n=7或n=8时，取最大值，最大值为． （III）由，得 （*） 依题意（*）式对任意恒成立， ①当t=0时，（*）式显然不成立，因此t=0不合题意． 　　　　 　②当t0时，由，可知（）． 　　　　　　 而当m是偶数时，因此t0不合题意． 　　　　 　③当t0时，由（）, ∴　∴． （） 　　　　　　 设 （） 　　　　　　∵ =, 　　　　　　∴． 　　　　　　∴的最大值为． 　　　　　　所以实数的取值范围是． 6. 已知函数． 若函数f(x)在其定义域内为单调函数，求a的取值范围； 若函数f(x)的图象在x = 1处的切线的斜率为0，且，已知a1 = 4，求证：an ( 2n + 2； 在的条件下，试比较与的大小，并说明你的理由．(1)，． 要使函数f(x)在定义域内为单调函数，则在内恒大于0或恒小于0， 当在内恒成立； 当要使恒成立，则，解得， 当恒成立， 所以的取值范围为． 根据题意得：， 于是， 用数学归纳法证明如下： 当，不等式成立； 假设当时，不等式成立，即也成立， 当时，， 所以当，不等式也成立， 综上得对所有时，都有． (3) 由(2)得， 于是， 所以， 累乘得：， 所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 7．（2012?四川）已知a为正实数，n为自然数，抛物线与x轴正半轴相交于点A，设f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距． （Ⅰ）用a和n表示f（n）； （Ⅱ）求对所有n都有成立的a的最小值； （Ⅲ）当0＜a＜1时，比较与的大小，并说明理由． 考 点圆锥曲线的综合；利用导数研究曲线上某点切线方程；导数在最大值、最小值问题中的应用。766398 专 综合题。 解答： 解：（Ⅰ）∵抛物线与x轴正半轴相交于点A，∴A（） 对求导得y′=﹣2x ∴抛物线在点A处的切线方程为，∴ ∵f（n）为该抛物线在点A处的切线在y轴上的截距，∴f（n）=an； （Ⅱ）由（Ⅰ）知f（n）=an，则成立的充要条件是an≥2n3+1 即知，an≥2n3+1对所有n成立，特别的，取n=2得到a≥ 当a=，n≥3时，an＞4n=（1+3）n≥1+=1+2n3+＞2n3+1 当n=0，1，2时， ∴a=时，对所有n都有成立 ∴a的最