多面体赏识.PDF

多面体赏识 关于多面体 由若干个多边形所围成的几何体，叫做多面 体。围成多面体的各个多边形叫做多面体的 面，两个面的公共边叫做多面体的棱，若干个 面的公共顶点叫做多面体的顶点。 面与面之间仅在棱处有公共点，且没有任何两 个面在同一平面上。一个多面体至少有四个 面。 注意：多面体的各面均为平面。像圆锥、圆台 因为有的面是曲面，而不被称为“多面体” 。圆 锥、圆柱、圆台统称为旋转体。 常见的多面体 柏拉图几何体 阿基米德多面体 开普勒多面体 对偶多面体 柏拉图几何体 柏拉图几何体并不是由柏拉图所发明，但是却是由柏 拉图及其追随者对它们所作的研究而得名，柏拉图试 图用这些几何体去解释世界。由于它们具有高度的对 称性及次序感，因而通常被称为正多面体。 柏拉图多面体所有的面都是不自交、以直线段为边长 的正凸多边形平面，每一种多面体都只有一种正多边 形的表面，而且在每一个顶点处都有相同数目的面交 会。不仅在每一个顶点处都有相同数目的面交会，而 且在每一个顶点处所有交会的面的内角之总和会相 等。 柏拉图多面体 很容易看出柏拉图多面体每一个都是凸的，并 且在每一个顶点处交会着相同数目、相似、正 的凸多边形。 一共只有5个柏拉图多面体，包括表面是正三 角形的正四面体、正八面体、正二十面体以及 表面是正方形的正六面体、表面是正五边形的 正十二面体。 柏拉图几何体 正四面体 柏拉图几何体 正八面体 柏拉图几何体 正二十面体 柏拉图几何体 正六面体 柏拉图几何体 正十二面体 柏拉图几何体 要理解为什么只有五个柏拉图多面体是相当简 单的，这是因为在每一个顶点处交会着至少三 个面才能构造出一个立体图形，而且围绕每一 个顶点的面的角度和不能等于或超过360 °， 否则所得的面将是平的或是凹的。 以上5种正多面体的展开图: 阿基米德多面体 半正多面体是使用两种或以上的正多边形为面 的凸多面体。半正多面体的每个顶点的情况相 同，共有13种（如：足球）。阿基米德曾研究 半正多面体（虽然其研究纪录已佚），故有人 将半正多面体唤作阿基米德立体。因半正多面 体的面是由正多边形组成的，每个相邻的正多 边形的边长相等，故半正多面体的边均有相同 长度。 阿基米德多面体样例 阿基米德多面体样例 阿基米德多面体样例 阿基米德多面体样例 开普勒多面体 开普勒，伟大的天文学家。他曾经试图把柏拉 图多面体与太阳系各行星绕太阳运动联系在一 起，并推导了13种阿基米德多面体。另外，开 普勒还发现了星形十二面体、星状八面体、菱 形十二面体、菱形三十面体等。 开普勒多面体样例 星形十二面体 开普勒多面体样例 星状八面体 开普勒多面体样例 菱形十二面体 开普勒多面体 菱形三十面体 对偶多面体 一个正多面体和以它的各面中心为顶的正多面 体，叫做互为对偶的正多面体。 正六面体和正八面体是互为对偶的正多面体； 正十二面体和正二十面体是互为对偶的正多面 体；正四面体的对偶多面体是正四面体。 在几何学，若一种多面体的每个顶点均能对应 到另一种多面体上的每个面的中心，它就是对 方的对偶多面体。 根据对偶原则，每种多面体都存在对偶多面 体。 对偶多面体样例 对偶多面体样例 对偶多面体样例