第一章 方程概论.pptVIP

数学物理方程 目录 例2 方程通解 1.3 定解条件与定解问题 第一章 方程概论结束 Fourier定律；这里通过热传导问题的例子说明如何从一个物理问题导出偏微分方程；借助类比的方法，直接给出三维扩散方程，并且利用扩散方程导出地面水源污染问题的一个解析解（三维非线性）；最后给出一维地面水源净化问题的一个数值解（线性） 。 空气、河水的污染，给城市居民的精神和健康带来了十分不利的影响。下面研究水源（江河湖泊水库等）污染和净化的一个简单模型。 叠加原理解微分方程须考虑线性定解条件；第一次课； 问何种情况下，第一标准型可化为‘常微分方程’求解，45度坐标变换为第二标准型；亥姆霍斯方程； 本章重点； 另外，格林函数法可给出无界波动方程初值问题的积分形式解，同于行波及傅氏法； 另外，格林函数法可给出热传导问题的边界积分方程，同于积分变换法 ； 非线性；绝热杯中水与墨汁扩散； 扩散方程的初值边值问题，原点处变动的边值；谈数值计算？ 电荷受力运动趋势，由高到低； 另外，类比法导出扩散方程；第七章利用第二种方法导出一、三类常见经典方程； 弦的横向振动方程形式与之相同； 另外，还有周期边界条件，自然边界条件，如外问题在无穷远处有界等； 特里科米 (Tricomi) 方程；总之：若函数F的表达式中含有多元未知函数的偏导数，则F=0是偏微分方程；偏微分方程可分为线性和非线性两大类。 1.1~1.3节概念性的知识居多，不妨出几个题目，考考我们掌握的情况；采用大纲版面，进行回顾； 如果函数 u 及其导数能够满足微分方程方程，则称函数 u 为该方程的解。 正确； 原微分方程可化为椭圆型方程的标准形式 (2) 当Δ0时，ξ,η为共轭复变量，如是选取实变量 (3) 当Δ=0时，只有一个特征线方程 由此可得一条实特征线 如是选取独立的实变量 ξ，η 原偏微分方程可化为抛物型方程的标准形式 例3 特里科米方程标准形式 试将空气动力学中的特里科米 (Tricomi) 方程 化为标准形。 解 首先计算判别式 Δ=-y。显然方程的类型由 y 值来决定。 其次列出特征方程 (1) 当Δ=-y 0时，方程为双曲型方程，将特线方程 积分后得特征线族为 取新变量ξ,η为 分解为两个特征线方程 计算可得 方程化为双曲型方程第一标准形式 即 (2) 当Δ=-y 0时，方程为椭圆型方程。 积分后得特征线族为 特征方程 可分解为两个特征线方程 方程化为椭圆型方程的标准形式 取新变量ξ,η为 计算可得 (3) 当Δ=-y =0时，方程为抛物型方程 结论：在全平面上特里科米 (Tricomi) 方程是混合型方程。 例4 方程标准形式和通解 求方程 的标准形式和通解。 解 其次，将特征方程 分解为 首先计算判别式 方程为双曲方程。 得到双曲型方程第一标准形式 取变换 计算偏导数并代入原方程 即 设 原方程化为 解得 将v对η积分 代回原变量 其中H,G 为任意二次可微函数，至此求得方程的通解。 一维波动，二维位势； 叠加原理是分离变量法和格林函数法的理论基础。 每章大致4-6学时，包括辅导答疑； 主要内容概括叙述； 线性，还是非线性，阶数； 偏导数的最高次数；2，2，3，2，1，1； 证明 设 证得 计算可得 同理 (1) (2) 设 证得 得 同理 (3) 设 证得 得 同理 求下述偏微分方程 的通解。 设 化为 解 则原方程 将 v 看作 t 的函数，x 作为参数。 解得 对 x 积分得 其中 h(x),g(t) 是两个任意一次可微函数。 。 推导细节 前一节建立了一些偏微分方程，它们是泛定方程，是对应物理定律的一种表示形式，对于具体问题，还要受到一些具体条件的约束。因此还需附加一些定解条件，形成定解问题。定解条件又分为初始条件和边界条件两种。 一、初始条件 初始条件又称为Cauchy条件。 初始条件与微分方程中所含对时间偏导的最高阶数相联系。 初始位移 初始速度 波动方程含有对时间的二阶偏导数，初始条件包含 热传导方程含有对时间的一阶偏导数，初始条件是指 初始温度 在位势方程中，未知函数与时间无关，所以没有初始条件问题。 二、边界条件 边界条件与微分方程中所含对坐标偏导的最高阶数相联系。 典型方程中含有对坐标的二阶偏导数，边界条件可分为三种类型： 第一类边界条件(Dirichlet条件) 第一类边界条件是给出未知函数u在边界S上的取值，其一般形式为 其中f1为已知函数。 第二类边界条件(Neumenn条件) 第二类边界条件是给出未知函数u沿边界S的单位法线方向n的方向导数值，其一般形式为 其中f2为已知函数。 第三类边界条件(Robin条件) 第三类边界条件可以看作是前两种边界条件的线性组合，其一般形式为 其中σ是常