二刻尺作图的古往今来.PDF

88 数学文化 第7卷第4期 2016 l m a 的直线，使得此直线在 和 的两个交点间的距离为 。具体做法是：将尺子 P l 与点 （顶点）对齐，并让其中一个刻度（图中黄点）保持在 上，慢慢转动尺子， m 直到另一个刻度（图中蓝点）碰到 ，此线即为所求（图中红线）。 二刻尺作图 P l 把点 称为二刻尺的顶点或极点（pole ），把 （直线或曲线）称为准线或滑 1 m a 线（directrix ），把 （直线或曲线）称为钩线（catch line ），把长度 称为距离 。 二刻尺与直角坐标系 1 Neusis_construction, /wiki/Neusis_construction orld of Mathematics 数学烟云 W 2016 第7卷第4期 数学文化 89 l m x y 当两条线 和 分别为平面直角坐标系的 - 和 - 轴时，二刻尺作图就被 用来考虑可构造点问题。我们不做深入的讨论。 2. 为什么用二刻尺作图 仅用圆规和没有刻度的直尺来三等分角、倍立方体和化圆为方是古希腊著 名的三大几何作图问题，在历史上名声显赫，吸引了一代又一代数学家的目光。 但是经过两千多年的不断耕耘和探索，直至 19 世纪，数学家们利用现代数学 的知识才豁然发现这三大问题是不可解的。倍立方体和三等分任意角在1837 年由法国数学家旺泽尔（Pierre Laurent Wantzel, 1814-1848 ）证明了不可能 只用尺规作图。1882 年德国数学家林德曼（Ferdinand von Lindemann, 1852- π 1939）证明了 的超越性，相当于给出了化圆为方不可能用尺规作图。不过， 虽然这些问题无解，但数学家们也未无功而返，因为在此过程中，有诸如发现 一些新曲线等科学副产品。从这个意义上来讲，三大几何作图问题有些类似希 尔伯特（David Hilbert, 1862-1943 ）口中的“一只会下金蛋的鹅”。 现在的问题是：三大几何作图问题已经确定不能仅用圆规和没有刻度的直 尺作图，那么是否有其他的作图方法可以作出它们的图形呢？答案是肯定的。 比如今天我们所讨论的焦点——二刻尺作图。目前已经知道，用二刻尺可以作 出三等分角和倍立方体，也能作出一些正多边形。 二刻尺作图与尺规作图一样古老，亦是早在古希腊，数学家们就采用的一 种作图方法，但是它的待遇却与尺规作图不同。在古希腊的三种主要作图方法 中，它被视为最为低级的作图法，使用不多。因此，它在历史的长河中渐渐淡 出人们的视野也在常理之中。不过，当其他作图法不能施展武艺之时，二刻尺 却又总被人想起，并发挥一定的威力，似乎充当了一种英雄救人于危难的角色。 如此说来，二刻尺不但古老，