三等分角与数域扩充.DOC

三等分角与数域扩充 三等分角问题、倍方问题和化圆为方问题被称为古希腊的三大几何作图问题。解决这类问题的思想方法不仅在数学上，而且在人类的思想史上都具有重大意义。 一、挖掘“三等分角”问题的文化内涵 数学文化也是新课程标准所倡导的重要方面之一,由于三等分角问题浓厚的历史积淀和多方面的应用价值,在该专题的教学中考虑数学文化因素是不可或缺的。在当今的科学技术条件下,数学文化传播的途径丰富而快捷,在教学中教师不能囿于课堂讲授的途径,而应采取多种手段,充分利用现有资源,例如让学生从网络、书刊中查阅相关资料并加以总结和交流等等,并可将部分内容的学习组织成一个小小的研究性课题。另外,由于上述古希腊的三大几何作图问题在研究方法及其特点上具有相当程度上的共性,往往成为叙述或研究的整体。 1“三等分角”问题的历史溯源 “三等分角”问题随同化圆为方问题、立方倍积问题,是古希腊巧辩学派的学者们于公元前5世纪提出并进行研究的几何学三大问题。任意三等分角也是由二等分角联想到的。当时的古希腊人认为,几何作图只许用直尺和圆规,这是天经地义的。并且在此时的古希腊,几何学重在推理,不需要在直尺上有刻度。因此,公元前三世纪成书的Euclid《几何原本》规定直尺的用法是:①从任意一点到另一点可用作直线(用没有刻度的直尺);②线段可以延长;③以任意点为中心及任意长为半径可作圆(用圆规)。以上规定通常称为尺规作图的公法,凡不符合公法的作图都被认为是不允许的。 2000多年来,历代数学家为了解决“三等分角”问题,耗费了许多心血,但都遭到失败。但自从1637年笛卡尔(Descartes)创立了解析几何学之后,尺规作图的可能性就有了判定准则。1837年万泽尔(Wantzel)在研究挪威数学家阿贝尔(Abel,N。H)定理的化简时,证明了角不可能用尺规作图的方法加以三等分,事实上早在1830年,十九岁的法国数学家罗伽华(Galois)就提出了解决三等分角问题的系统理论和方法,并用较高深的数学理论证明了这一问题的不可能性,只不过是当时不为人所知罢了。 1895年克莱因(Felix Klein)总结了前人的研究成果,给出三大几何问题不可能用尺规作图的简明证法,从而彻底地解决了这三个古老的问题。于是对“三等分角”问题旷日持久的讨论和研究热潮在20世纪的曙光来临之前就已尘埃落定。 虽然三等分角问题早已得到结论,但至今仍有一些人在对此进行研究,甚至于文[3]、[4]中作者给出所谓正确的解答,这是不可能的,也是让人贻笑大方的。这表明其对“三等分角”问题产生、发展与解决的历程没有正确的了解。 2 “三等分角”问题的价值分析 (1 )促进了相关数学知识的发展与健全 数学家保罗·哈尔莫斯(Paul Halmos)曾说过:“问题是数学的心脏”,一些难题解决了,新的难题又提出来了,正是由于在数学发展中不断提出新的问题才使得数学充满着生命力,推动了数学的迅速发展。数学家希尔伯特(Hilbert)1900年在巴黎国际数学家大会上的著名讲演“数学问题”中提出了23个数学问题,涉及了现代数学的大部分领域,它们的分析与解决历程,对20世纪数学产生了持久的影响。前不久,中国科学院外籍院士丘成桐先生在北京宣布:经美俄中数学家30多年的共同努力,两位中国数学家——中山大学的朱熹平教授和美国里海大学教授及清华大学讲席教授曹怀东,最终证明了百年数学难题——庞加莱猜想。并认为,庞加莱猜想和三维空间几何化的问题是几何领域的主流,它的解决过程及其证明将会对数学界流形性质的认识,甚至用数学语言描述宇宙空间产生重要影响。 也正是如此,“三等分角”问题以其独特的魅力吸引了许多数学家的兴趣,他们以极大的热情投入到其中,在问题的解决过程中各显神通,从不同的角度进行探讨,他们的解法或突破作图工具的限制,或与作图公设不完全相符,但得到了许多意想不到的结果。并且数学家们在无意中闯进了未知的领域,发现了新的宝藏,可谓是“不破不立”。如在研究三等分角问题的过程中发现了如蚌线、心脏线、圆积曲线等特殊曲线等。总之,三大问题的求解使人们发现了多种曲线,开创了曲线研究的新局面,极大地丰富了古希腊几何研究的内容。 另一方面,对几何三大问题的深入研究不但对希腊几何学产生了巨大的影响,而且还引出了其他一些数学方法与数学知识上的发现。三大问题促进了穷竭法的研究,该方法孕育了近代极限论的思想,具有划时代意义,后来成为阿基米德(Archimedes)计算圆周率方法的先导。其精确程度在当时达到了领先地位,是希腊数学发达于同时代其他地区数学的显著标志之一。三大问题还直接或间接地影响了有理数域、代数数与超越数、群论等的发展。 此外,三大问题对于数学中的问题解决也有重要的启发。它使我们看到解决问题不仅在于问题解决本身,更重要的是解决问题的思想、方法和由此而