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博弈论及其应用 ——完全信息静态博弈： 混合策略纳什均衡 混合策略纳什均衡 混合策略 混合策略纳什均衡 混合策略纳什均衡 混合策略 混合策略纳什均衡 混合策略 混合策略 混合策略：把不确定性引入纯战略，即参与者以一定的概率选择他的战略，比如网球比赛中，运动员以60％的概率发正手球，40％的概率发反手球。 混合策略 为什么采用“混合策略”？ 考虑下面的博弈：扑克牌对色游戏 两个人参与这个游戏，从自己的扑克牌中抽出一张，一起翻开，如果颜色一样，甲输给乙一根火柴；如果颜色不一样，甲赢得乙一根火柴。不允许出大小鬼。描述这个博弈，寻找纳什均衡。 混合策略 混合策略 这个博弈“不存在”我们前面所讲的纳什均衡 在这个游戏中，重要的是猜测对方的出牌规律，同时避免对方猜到自己的出牌规律。也就是说，要尽量让对手迷失。这种随机化自己可选策略的做法，就是采取“混合策略”的思想。 局中人以一定的概率p选择红，以一定的概率1-p选择黑，则（p,1-p）概括了某个局中人所有的混合策略。可知这样的混合策略有无穷多个。两个局中人的策略组合有无穷多个 混合策略 混合策略 当参与人可以选择的策略比较多时（3个，4个，…），用一个字母就不够用了，需要用多个字母表示其混合策略 可以想象，混合策略情况下，参与人的支付不再是确定性的。需要用期望支付的概念 混合策略 混合策略 混合策略 举例 扑克牌对色游戏中，假设p＝0.5，q＝0.5，写出双方在这种情况下的期望支付 混合策略 举例：两人博弈的情况 混合策略 举例：两人博弈的情况 混合策略 举例：两人博弈的情况 类似的，可以写出参与人2的期望效用 混合战略 混合战略纳什均衡 纯战略纳什均衡 混合战略纳什均衡 对于某个参与人来说，最优混合战略是指期望效用最大化的混合战略 对于前面的例子：二人博弈来说： 混合战略纳什均衡 混合战略纳什均衡 混合战略纳什均衡 混合战略纳什均衡 混合战略纳什均衡 混合战略纳什均衡 报案（reporting a crime） n个人目睹一桩罪行，每个人都希望报警，但是都倾向于其他人打电话。特别的，假定能从报警中得到v单位的收益，而打电话的人需要付出c单位的成本，vc0。分析这个问题的纯战略NE和混合战略NE。 混合战略纳什均衡 分析： 参与人：n个 每个参与人的战略集：{打电话，不打电话} 效用：没有任何人打，所有人0支付； 打，v-c； 不打，但其他人至少有一个人打，v 纯战略NE 当只有两个参与人的时候（公共产品提供的斗鸡博弈）——两个NE n个人的时候：假设有m个人提供，m1 or m=1 n个NE 混合战略纳什均衡 混合战略NE 任何一个参与人i的期望效用函数： 假设i提供的概率为pi, 第i个参与人最大化自己的期望效用，得到 混合战略纳什均衡 由此， c/v1，因此，随着人数n的增加，p减小，即人越多，每个人选择报案的概率就会越小，如果n＝1，则p＝1 社会心理学与博弈分析 混合战略纳什均衡 几乎所有有限博弈都有有限奇数个纳什均衡 对每个参与人来讲，在构成混合战略均衡纯战略之间是无差异的，即带来的支付是无差异的 因此，寻找混合战略纳什均衡的方法除了优化方法，还有等值法 案例分析 有人要打网球吗？？ 小结 混合策略的定义，含义 期望效用 混合策略纳什均衡： 定义 求解 含义 案例 Homework 1. Find all “mixed” strategy NE to a Prisoners’ Dilemma. Comment on any connection with dominant strategies. Homework 2. Find all mixed strategy NE to the football game shown below. * 张红霞 国民经济管理系 * The cliffhanger… 混合策略 期望效用 NE和最优反应 案例 混合策略博弈的性质 红 红 黑 黑 -1，1 1，-1 -1，1 1，-1 乙 甲 红 p 红 q 黑 1-q 黑 1-p -1，1 1，-1 -1，1 1，-1 乙 甲 硬币博弈 a1 b1 a2 b2 1,-1 -1, 1 1, -1 -1, 1 p (1-p) q (1-q) 各种战略组合及其概率 (a1,a2) (a1,b2) (b1,a2) (b1,b2) pq p(1-q) (1-p)(1-q) (1-p)q 期望效用 由上述混合战略纳什均衡的定义，以及混合战略的定义，可以得到： a1 b1 a2 b2 3,2 -1, 3 0, 0 -1, 1 社会福利博弈 q (1-