华工数值分析01.ppt

数 值 分 析(科学与工程计算基础) 主讲：雷 秀 仁 maxlei@scut.edu.cn 华南理工大学理学院数学系 教材 应用数值分析 郑咸义等 编著 （华南理工大学出版社） 参考书目 ? Numerical Analysis:Mathematics of Scientific Computing (Third Edition) David Kincaid Ward Cheney（机械工业出版社) ? Numerical Analysis (Seventh Edition) Richard L. Burden J. Douglas Faires （高等教育出版社） 数值分析的研究对象 数值分析的研究对象 许多科学与工程实际问题（如：核武器的研制、导弹的发射、气象预报等）的解决都离不开科学计算。 目前，理论、试验、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。 数值分析研究的对象 数值分析研究的对象 数值分析的任务 数值分析的任务 课程目的 课程主要内容 第一章 绪 论 1.数值分析中常用的一些概念 数值问题、数值解 、算法 由一组已知数据（输入数据），求出一组结果数据（输出数据），使得这两组数据之间满足预先制定的某种关系的问题，称为数值问题。 由数值计算公式算出的数值形式的解(通常由计算机计算得到)称为数值解。一般数值解是近似解。 由给定的已知量，经过有限次的四则运算及规定的运算顺序，求出所关心的未知量的数值解，这样所构成的整个计算步骤，称为数值算法（简称算法）。 计算量 一个算法所需要的乘法和除法总次数称为计算量。计算量的单位为flop，表示完成一次浮点数乘或除法所需要的时间。算法的计算量可以衡量算法的优劣，因为它体现着算法的计算效率，通常算法的计算量越小，则算法的计算效率越高，因而该算法也越好。 由于计算机做加减法要比乘除法快得多，故算法的计算量可以不考虑加减法的时间。 例: 设A，Ｂ，Ｃ分别为10×20，20×50，50×10的矩阵，计算 D=ABC 就有如下不同的算法和计算量 算法1：D=(AB)C 计算量 N1=15000 flop; 算法2：D=A(BC) 计算量 N2=12000 flop. 病态问题 因初始数据的微小变化，导致解产生剧烈变化问题称为病态问题。病态问题也称为坏问题，这类问题通常是问题本身固有的。 求解病态问题应该特别注意，因为实际问题的数据都是近似的或经计算机计算要对输入数据做舍入处理，这都引起原始数据的扰动，若所求解的正好是个病态问题，则采用通常算法计算就会出现很隐蔽的错误，导致不良的后果。病态问题在函数计算、方程求根及方程组求解中都是存在的，它的计算或求解应用专门的方法或将其转化为非病态问题来求解。 例：病态的方程组 考察方程组 和 上述方程组尽管只是右端项有微小扰动，但解大不相同： 一个是 ，一个是 。 这类方程组称为病态的。 算法的数值稳定性 在计算过程中产生的舍入误差能被控制在一定的范围内，且对最后的结果影响不大的算法称为数值稳定算法。不是数值稳定的算法称为数值不稳定算法。 数值不稳定算法会导致计算结果失真，对数值不稳定的算法常采用转化成相应的数值稳定的算法来处理 。 2.对算法所要考虑的问题 3. 数值计算中的误差 来源及种类 --- 模型误差、参数误差、 截断误差、舍入误差。 数值计算中的误差 数值计算中的误差 数值计算中的误差 相对误差 --- 近似数 x * 关于准确数 x 的相对误差： 数值计算中的误差 有效数字 --- 用 x * 表示 x 时准确到小数点后第 k 位： 数值计算中的误差 有效数字与相对误差的关系 --- n 位有效数字的近似数 x * 其相对误差： 4. 数值计算中应注意的几个问题 若干原则 --- １．注意简化计算步骤，减少运算次数； （例：秦九韶算法) ２．避免两个相近的数相减，减少有效 数字的损失；（例） ３．使用数值稳定的算法;（例:习题1.16） ４．小心处理病态的数学问题； 复习题 习题 1.1(3)(4)、1.2、1.3、1.4、 1.6、1.9 (1) 、1.15、1.16 * * 数值分析属于计算数学的范畴，是数学的一个分支，也称为数值计