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Copyright ? 2006 Hua Changsheng All Rights Reserved,信息管理学院 数值计算方法 Numerical Calculate Method 江西财经大学数学与管理工程系 华长生 电话：3891471 Email:huachsh@ 课程网站：/skyclass/ 第5章 数值线性代数精选 0. 基本概念回顾 1. 矩阵特征值问题：幂法 2. Schur定理和Gershgorin定理 3. 正交分解和最小二乘问题 4. *奇异值分解和广义逆 5. 特征值问题：QR algorithm of Francis 本章重点： 本章难点： 1. 求特征值的幂法、逆幂法、QR法； 2. 特征值定位； 3. 矩阵的正交分解、Householder变换、QR分解 1. 特征值定位的Schur定理和Gershgorin定理； 2. 各种分解的构造 5.0 基本概念回顾 在很多科学、工程和经济问题中都会遇到特征值和 特征向量的计算 如：力学问题中的弹性薄膜的固有震动问题、经济问题 中的效益评价问题等都会归结为特征值和特征向量问题 上述定义将特征值问题从实数空间转化为了复数空间 基本概念回顾 1. 代数基本定理： 每个具有复系数的非常数代数多项式在复平面中至少 有一个零点。 事实上，如果包含重零点则在复平面中有n个零点， 其中n为多项式的最高次数. 2. 复空间上内积和欧氏范数： 内积 欧氏范数 3. 复矩阵的共轭转置： 4. 特征矩阵、特征多项式、特征方程： 特征矩阵 特征多项式 特征方程 特征方程的解即为矩阵A的特征值 如何求主特征值？ 5. 主特征值： 模最大的特征值 基本概念回顾 5.1 矩阵特征值问题：幂法 幂法(幂迭代法)是为了计算矩阵的主特征值而设计的 一种迭代法 两个基本假定： 1. 矩阵A存在模最大的特征值； 2. 矩阵A存在n个线性无关的特征向量 根据假定，有 相应的特征向量为 且线性无关 -------------(1) -------------(2) 一、幂迭代法的构造 根据假定2， -------------(3) 矩阵特征值问题（幂法） 依此类推 简化上述公式： 矩阵特征值问题（幂法） 一、幂法的构造 -------------(4) -------------(5) -------------(6) 从上式可以看出， 并且 向量的比值！ 必须引进线性 泛函或另找办法才能解决 矩阵特征值问题（幂法） 一、幂法的构造 -------------(7) 迭代方式进 行适当更改 矩阵特征值问题（幂法） 一、幂法的构造 -------------(8) -------------(9) 矩阵特征值问题（幂法） 一、幂法的构造 -------------(10) -------------(11) 矩阵特征值问题（幂法） 一、幂法的构造 -------------(12) -------------(13) 矩阵特征值问题（幂法） 一、幂法的构造 -------------(14) -------------(15) 矩阵特征值问题（幂法） 一、幂法的构造 综合以上分析，可以得到幂迭代法(16)-(17)式： -------------(16) 迭代中止 -------------(17) 主特征值和相应的特征向量 矩阵特征值问题（幂法） 二、幂迭代法的算法和程序 迭代中止 幂迭代法的算法 矩阵特征值问题（幂法） 二、幂法的算法和程序 为计算机执行的代码 function [m,y,k]=PM(A,y,eps) k=0;m0=0;d=1; while deps k=k+1; x=A*y; m=max(abs(x)); y=x/m; d=abs(m-m0); m0=m; end MATLAB程序 矩阵特征值问题（幂法） 二、幂法的算法和程序 Chapter 1 Instructor Notes 1-* 数值计算方法 Copyright?2006 华长生All Rights Reserved,信息管理学院 数值计算方法讲稿 第0讲 0-*