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18届江苏高考数学群 367515779 金老师每日一题 (高一) 2016年 05 月23日 题目：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________． 1 2 第 页 共 页 18届江苏高考数学群 367515779 1 3 解析 (1)方法一 由x ＋3y ＝5xy 可得 ＋ ＝1， 5y 5x 1 3 ∴3x ＋4y ＝(3x ＋4y )( ＋ ) 5y 5x 9 4 3x 12y 13 12 ＝ ＋ ＋ ＋ ≥ ＋ ＝5. 5 5 5y 5x 5 5 3x 12y 1 (当且仅当 ＝ ，即x ＝1，y ＝ 时，等号成立)， 5y 5x 2 ∴3x ＋4y 的最小值是5. 方法二 由x ＋3y ＝5xy 得x ＝ 3y ， 5y －1 1 ∵x0，y 0，∴y ， 5 1 9 4 9y 13y － ＋ ＋ －4y ∴3x ＋4y ＝ ＋4y ＝ 5 5 5 ＋4y 5y －1 5y －1 1 13 9 5 1 ＝ ＋ · ＋4(y －) 5 5 1 5 y － 5 13 36 ≥ ＋2 ＝5， 5 25 1 当且仅当y ＝ 时等号成立，∴(3x ＋4y ) ＝5. min 2 2 2 第 页 共 页
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