数理统计部分概述.pptVIP

若总体均值E(X)存在，总体方差D(X)存在，则由X1,X2,…,Xn的独立性及同分布性，有 取对数 令 解得λ的极大似然估计值为 极大似然估计量为 这里,我们介绍了参数点估计，给出了寻求估计量最常用的矩估计法和最大似然估计法 . 对同一个参数,用不同的估计法,估计量可能 不同, 原则上任一统计量都可以作为未知参数 的估计量, 很自然地提出: 采用哪一种估计量 最好? 这就涉及到用什么样的标准来评价估 计量的优良性问题? §2 估计量的评选标准 1．无偏性 2．有效性 3．相合性 常用的评选估计量的标准 估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值 . 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就导致无偏性这个标准 1．无偏性 则称 为 的无偏估计 . 设 是未知参数 若 的估计量， ，有 例1 设总体X ? N (?，? 2)，其中参数?， ? 2未知， X1, X2,…, Xn为来自总体的样本。试用最大似然估计法求?，? 2的估计量，并问是否是无偏估计？若不是，请修正它成为无偏估计。 回顾p183例5, 提示如下： 容易验证: 故得: 是 的无偏估计, 不是 的无偏估计. 此外: 是 的无偏估计. 其实也可以如下证明: 由于 服从 故 从而 证明过程见（168） 例2: 设总体X的k阶矩E(Xk)存在,证明样本的k阶矩是E(Xk)的无偏估计. 证明 所以,证明样本的k阶矩是E(Xk)的无偏估计. 因为 例3 设X1, X2,…, Xn是来自总体X的样本，且E(X)=?。以下两个估计是否为?的无偏估计 无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性这一概念 . 的大小来决定二者 和 一个参数往往有不止一个无偏估计, 若 和 都是参数 ? 的无偏估计量， 比较 我们可以 谁更优 . 2．有效性 D( )? D( ) 且存在 的情形 则称 较 有效 . 都是参数 的无偏估计量，若有 设 和 D( ) D( ) 例3 设X1, X2,…, Xn是来自总体X的样本，且E(X)=?。以下两个估计谁更有效？ （自己验算, 提示如下:） 解： 比 有效 证明 由于总体服从泊松分布，故 于是有 同理 但是 练习: 设(X1,X2, X3)是来自总体X的一个样本,证明下面的三个估计量都是总体均值E(X)的无偏估计量 证明 例 设X1,X2, X3, X4是取自均值为 的指数分布 总体X的样本, 为未知参数, 设有估计量 解: 所以D(Xi )= i=1,2,3,4 X1,X2, X3, X4是取自总体X 因D(X)= 的样本, 3　一致性 （相合性） ——（了解即可） 估计量的无偏性和有效性都是在样本容量固定的前提下提出的.我们自然希望随着样本容量的增大,一个估计量的值稳定于待估参数的真值.这就对估计量提出了一致性的要求. 区间估计 ——（了解即可） 前面，我们讨论了参数点估计常用的矩估计法和最大似然法. 它是用样本算得的一个值去估计未知参数. 但是，点估计仅仅给出了未知参数的一个近似值，它没有反映出这种估计的精度. 区间估计正好弥补了点估计的这个不足之处. §7--4 区间估计 一 、定义 设X1 ，…，Xn为来自总体X?F(x, ?）的一个样本，? ? ?为未知参数。若对于给定的?（0 ? 1），存在统计量 使得对所有的? ? ? 满足 则称随机区间 二 构造置信区间的方法 1. 枢轴量法的具体步骤 为参数? 的置信度为1-? 的置信区间， 分别称为置信度为1-? 的双侧置信区间的置信下限和上限。置信度1-? 也称置信水平。 如何寻找置信区间? 通常有如下的枢轴量法 从未知参数? 的某个点估计 出发，构造 与? 的一个函数 使得H的分布已知，且与 ? 无关。该函数通常称为枢轴量。 利用不等式运算，将不等式 适当选取两个常数c, d，使对给定?的有 等价变形为 即 此时参数? 的置信度为1-? 的置信区间为[A，B] 2. 如何确定c , d 我们总是希望置信区间尽可能短. 任意两个数c和d，只要它们的横标包含f(x)下95%的面积，就确定一个95%的置信区间. 三、抽样分布定理 1.单正态总体样本的统计量的抽样分布 设 是来自正态总体 的 一个样本，则 (4) 与