【概率论】大数定律课件.pptVIP

Soft Computing Lab. 　　正态分布是二项分布的极限分布,当n充分 大时, 可以利用下面公式计算二项分布的概率． 例4 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需 要的电功率为Q千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实 际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互 独立的,求: (1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率. (2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于0.99. (2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则 例4 某工厂有200台同类型的机器,每台机器工作时需 要的电功率为Q千瓦,由于工艺等原因,每台机器的实 际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互 独立的,求: (1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率. (2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于0.99. (2)设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则 根据莱维中心极限定理得 根据莱维中心极限定理得 棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理表明: 当n充分大时, 解 (1)设随机变量X表示200台任一时刻正在工作的机器的台数， 则 X ~ B(200,0.75) . 由棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理, 有 n =200,p =0.75,q =0.25,np =150,npq =37.5 (1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率. 由3? 原则知， 查标准正态函数分布表，得 解 (1)设随机变量X表示200台任一时刻正在工作的机器的台数， 则 X ~ B(200,0.75) . 由棣莫佛－拉普拉斯中心极限定理, 有 (1)任一时刻有144至160台机器正在工作的概率. 查标准正态函数分布表，得 * SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN SCHOOL OF STATISTICS JUNBAI REN 第5章 大数定律和中心极限定理 5.1 大数定律 5.2 中心极限定理 概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象. 研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究. 极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种: 与 大数定律 中心极限定理 5.1 大数定律 一、依概率收敛的概念 二、切比雪夫不等式 三、切比雪夫大数定律 四、伯努利大数定律 五、辛钦大数定律 定义 一、依概率收敛的概念 依概率收敛不是通常微积分中的收敛 因此 设随机变量 的期望值 方差 则对于任意给定的正数 有 二、切比雪夫不等式 注: (1)切比雪夫不等式也可以写成 (2)切比雪夫不等式表明： 则事件 发生的概率越大， 即， 随机变量 集中在期望附近 的可能性越大. 随机变量 的方差越小， (3)在方差已知的情况下， 它的期望的偏差不小于 的概率的估计式. 如 取 则有 切比雪夫不等式给出了 与 故对任给的分布， 只要期望和方差存在， 则随机变 量 取值偏离 超过3倍均方差的概率小于 例1 已知正常男性成人血液中, 每一毫升白细胞 数平均是 7300, 均方差是 700. 利用切比雪夫不 等式估计每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的 概率. 解 设每毫升白细胞数为 依题意, 所求概率为 由切比雪夫不等式 即每毫升白细胞数在 5200 ~ 9400 之间的概率不 小于 8/9. 例2 在每次试验中, 事件 发生的概率为 0.75, 利用切比雪夫不等式求: 独立试验次数 最小取 何值时, 事件 出现的频率在 0.74 ~ 0.76 之间的 概率至少为 0.90? 解 设 为 次试验中, 事件 出现的次数, 则 在切比雪夫不等式中取 则 依题意, 取 使 解得 即 取 18750 时, 可以使得在 次独立重复试验 中, 事件 出现的频率在 之间的概率 至少为 0.90. 三、切比雪夫大数定律 切比雪夫 切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的.这意味着只要n充分大，尽管n个随机变量可以各有其分布，但其算术平均以后得到的随机变量 将比较密地聚集在它的数学期望 的附近，不再为个别随机变量所左右.作为切比雪夫大数定律的特例，我们有下面的推论. 推论 这一推论使算术平均值的法则有了理论根据 四、伯努利大数定律 切比雪夫大数定律的另一个推论通常称为伯努利大数定律 n重伯