浅谈拉普拉斯(Laplace)变换及其应用.pdfVIP

读写算 2013年 第7期 数学教育研究 浅谈拉普拉斯（Laplace）变换及其应用 覃茂华 （广西现代职业技术学院 广西 河池 547000） 【摘 要】拉普拉斯变换是由复变函数积分引导出的一个非常重要的积分变换，它在应用数学中占有很重要的地位。本文 从拉普拉斯变换的定义出发，结合拉普拉斯变换的有关性质谈谈拉普拉斯变换的一些简单应用。 【关键词】拉普拉斯变换 拉普拉斯逆变换 应用 一、Laplace变换的定义 用拉普拉斯变换法解微分方程或者积分方程有以下几个 ∞ 如果在实变数t ≥0 上有定义的函数f （t ）使积分∫0 e−st f (t ) 优点：（1）求解过程规范，便于在工程技术中使用；（2）当 T dt lim ∫ e−st f (t)dt ，对于已给的一些s（这里s 一般取为复数）存在， 初始条件全部为0 时，用拉氏变换求解就会特别简单，避免 T →∞ 0 ∞ 则称F （s ）= ∫0 e-stf （t ）dt 为函数f （t ）的拉普拉斯（Laplace ） 了微分方程的一般解法中先求通解，再根据初始条件确定任 变换。记为F （s ）=L[f （t ）]。函数f （t ）称为原函数，函 意常数的复杂运算；（3）当方程中的非齐项具有跳跃点而不 数F （s ）称为象函数。 可微时，用经典方法求解是很困难的，而用拉氏变换不会带 如果F （s ）为f （t ）的拉普拉斯变换，则称f （t ）为F （s ） 来任何困难；（4）在实际计算中可以用拉氏变换表来求一些 的拉普拉斯逆变换。记为：L-1 [F （s ）]=f （t ）。 函数的像函数，这就使得解方程变得更加方便。 二、应用 Laplace 变换解常系数微分方程（组）和积分 1 -1 -t 方程 故Y (s) (s +1)2 ，于是，由拉氏逆变换得y （t ）=L [Y（s ）]=te . 例1. 求微分方程x ″+x=sin2t 满足初始条件x（0 ）=0， x ′ 用拉普拉斯变换法解微分方程或者积分方程有以下几个 （0 ）=1 的解。 优点：（1）求解过程规范，便于在工程技术中使用；（2）当 解：对方程两端实行拉普拉斯变换得L[x ″]+L[x]=L[sin2t] 初始条件全部为0 时，用拉氏变换求解就会特别简单，避免 2 2 则由L[x ″]=p L [sin 2t ] 了微分方程的一般解法中先求通解，再根据初始条件确定任