正余弦函数的幂级数展开.pdfVIP

2010年 9月 阴 山学 刊 Sep．2010 第24卷 第3期 YINSHANACADEMICJOURNAL Vo1．24 No．3 正余弦函数的幂级数展开 郭 鹏 云 (包头师范学院数学科学学院，内蒙古 包头014030) 摘 要：本文猜想并验证 了关于正余弦函数的另一种多项式的展开式，而且得到了一个调和级数的和。 关键词 ：正余弦函数 ；多项式展开 ；调和级数 中图分类号：0173．1 文献标识码 ：A 文章编号：1004—1869(2010)03—001l一02 1 猜想 众所周知 ，如果 已知方程 戈)：0戈“+an_l一+ ··。+a1+zo=0 (1) 的全部 n个根 。， ，……， ，则有分解 )=口( 一 1)( 一 2)…( 一 )：0． (2) = 这个结论对于不是多项式的函数是否有利用价值呢?我们首先考查正弦函数 )：sinx。sinx 0的全 部根为 =n盯(n苣Z)。我们猜想 sinx=n ( 一叮T)( +盯)…( 一n1T)(戈+n1T)… (3) (其中。为非零常数)。根据泰勒公式，sinx可以展开成无穷项和 ． N5 f—1)n-lx2n-1 叭眦 一 +玎 ～+ 一 (4) 既然 (3)式与(4)式都是多项式，假设 (3)式是正确的，关键是确定其中的 。。 对比(3)与(4)中 ’的系数可知 … “ L 一 一 ．—— 一 (5) (一丌)(一22订)…(一k订)…。 若静态地看，一 。。时n只能取零，但如果将a动态地看成 1 1 l 1 1 1 ，一Z = 一 … … … 一 · (6) 一 百 耵 一2叮『2-rr —k-rrkrr 并且将上述的每个因子分配到(3)式中每一个括号内，可得 s (1一)(1一 )…(1一斋 )… (7) 也可以将上式写成 sin= 17(1一i) (8) ： 这就得到了正弦函数的无穷项乘积的表达式。 2 验证 我们知道 ，(4)式右端随着项数 几的增大，部分和函数 ．s()越来越接近其和函数 sinx。体现在图形上， 收稿 日期 ：2010—03—31 随着项数n的增大，函数S()的图像与函数sinx的图像重合越来越多。依此类推，(7)式和(8)式右端随着 项数n的增大，部分积函数S()也应该越来越接近函数Y=sinx。体现在图形上，随着项数 7／,的增大，函数 S()的图像与函数 sinx的图像重合越来越多。 我们用Mathematica软件编写程序如下： f[X一 ：=Norm