某类二阶微分方程解的增长级与零点.pdfVIP

第 25卷第 4期 江西师范大学学报 (自然科学版) Vol25No．4 2加 1年 l1月 JOLrRNALOFJIANGXINORMALUNIVEP,SITY Nov2∞ 1 文章编号 ：1000—5862(0呻1)04—03 一05 某类二 阶微分方程解 的增长级与零点 毛志强 (南 昌职业技术师范学院 数理系，江西 南昌 330013) 摘要：研究了P(；)=一 一 +一 咖，珥0为实常数，^(；)为超越整函数时，方 程 ， +em f +A(2)，=F与对应开次方程， +e尸㈨f +^()，=0的解 的增长级和零点收 敛指数 ． 关键词 ：微分方程；整函数；零点；增长级；收敛指数 中图分类号 ：O17452 文献标识码 ：A 在本文中，我们使用Nevanln／na理论的标准记号 ，并使用 o(f)、 (，)、(，)分别表示亚 纯函数_厂()的级、零点收敛指数、不 同零 点收敛指数．同时，我们引进记号 (P， ：设 P()=(+ ) +…是 n≥10：多项式 ，其 中 n，_9是实数， =r ，记 (P，0)= COSnO— psinnO． 在文[3]中，GargG．GurIdersen研究T--阶线性齐次微分方程 ， +e一 +B(z)f=0， (1) 得到 定理 A 假设 B()是超越整 函数 ，且 d(B)≠1，那么微分方程 (1)的每个非零解具有无穷 级 ． 在文[4]中，陈宗煊研究了方程 - 厂 +oe一柑， +Ay：0， (2) 得到 定理 B 假设 Ⅱ为非零多项式，m0为实常数，A()为有限级超越整 函数，d(A)≠1，那 么齐次线性微分方程(2)的每个非零解具有无穷级 ． 本文中，我们将讨论更一般的方程类型 厂 +e ， +A(z)f：F (3) 及其相应齐次线性微分方程 ， +e ’， +A(z)f：0， (4) 得 到以下结果 定理 1 假设 P(z)：一mg+。 +…+ ，m0为实常数 ，A()为超越整函数． 并 且 d(A)(n为非正整数或d(A))n，那么，齐次线性微分方程 (4)的每个非零解 ，增长级 收稿 日期 ：20Ol一03—28 作者简介 ：毛志强 (1972一)，男。江西丰城人，讲师，理学硕士研究生，主要从事微分方程复振荡的研究 第4期 毛志强 某类二阶微分方程解的增长级与零点 (，)：∞ · 定理 2 P(=)，A(z)，m满足定理 1的条件 F}O为有 限级整 函数 ，那 么非齐次线性微分 方程(3)的每个解，(z)满足 (I)方程 (3)的所有解 ，(z)满足 (f)= (，)= (，)= ， 至多一个可能的有限级例外解 ．to； (II)如果存在(I)中的有限级例外解 ．to，~lVz-,满足 d(fo)≤m姐 {d(A)，d(F)，^(^)，n ， 而且如果 ( ) ( )gtd(A)，d(，)，n互不相等 ，那么有 d )=m姐{d(』哇)，d(，)，nf 为证明定理 1和定理 2，需要 以下引理 引理 l嘲 多项式 P(z)=Ⅱz+nn-l +…+nlz+Ⅱ0，n为正整数 ，0 =ae ， 0， 对给定的 E，0￡n／4n，我们引进 2n个角域 ：一0．／n+( 一1) ≤目≤一以／n+( +