中考数学考前天复习第五单元四边形五.docxVIP

2015年考前100天中考数学复习第五单元四边形（五）四边形的有关计算与证明 四边形的有关计算与证明是历年中考的必考内容之一，通常结合三角形等知识综合考查，以计算题、证明题的形式出现，解答此类问题除熟练掌握四边形的性质和判定定理外，还须综合三角形等知识解题.例 (2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图所示操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点；将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点.(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积.【思路点拨】(1)由矩形及翻折的性质可证得△EDM≌△FBN，从而证出四边形BFDE是平行四边形；(2)由菱形及矩形的性质得出∠ABE=∠DBE=∠DBC=30°，利用锐角三角函数可求出AE、BE，进而求出AD、DE，即可求出菱形BFDE的面积.【解答】(1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD.由翻折得：BM=AB，DN=DC，∠A=∠EMB，∠C=∠DNF，∴BM=DN,∠EMB=∠DNF=90°，∴BN=DM,∠EMD=∠FNB=90°.∵AD∥BC,∴∠EDM=∠FBN，∴△EDM≌△FBN(ASA)，∴ED=BF，∴四边形BFDE是平行四边形.(2)∵四边形BFDE是菱形，∴∠EBD=∠FBD.∵∠ABE=∠EBD,∠ABC=90°,∴∠ABE=×90°=30°.在Rt△ABE中，∵AB=2，∴AE=,BE=,∴ED=,∴AD=.∴S△ABE＝AB·AE=.S矩形ABCD＝AB·AD=，∴S菱形BFDE＝-2×＝.方法归纳：证明平行四边形及特殊平行四边形时，通常要先看题中已知条件的特点，然后根据条件选择合适的判定方法加以证明.针对训练1.(2013·新疆)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠BAC，分别与BC、CD交于点E、F，EH⊥AB于H.连接FH，求证：四边形CFHE是菱形.2.(2014·济宁)如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF.(1)求证：BF=DF；(2)连接CF，请直接写出BE∶CF的值(不必写出计算过程).3.(2014·凉山)如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD及等边△ABE，已知：∠BAC=30°，EF⊥AB，垂足为F，连接DF.(1)试说明AC=EF;(2)求证：四边形ADFE是平行四边形.4.(2014·舟山)已知：如图，在□ABCD中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连接BE，DF.(1)求证：△DOE≌△BOF.(2)当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形？请说明理由.5.如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F.(1)求证：四边形CDOF是矩形；(2)当∠AOC为多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由.6.(2014·成都)如图，矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD边上一点，DE=AD(n为大于2的整数)，连接BE，作BE的垂直平分线分别交AD、BC于点F，G，FG与BE的交点为O，连接BF和EG.(1)试判断四边形BFEG的形状，并说明理由；(2)当AB=a(a为常数)，n=3时，求FG的长；(3)记四边形BFEG的面积为S1，矩形ABCD的面积为S2，当=时，求n的值.(直接写出结果，不必写出解答过程)参考答案1.证明：∵∠ACB=90°，AE平分∠BAC，EH⊥AB，∴CE=EH.在Rt△ACE和Rt△AHE中，AE=AE，CE=EH，由勾股定理，得AC=AH.∴∠CAF=∠HAF.在△CAF和△HAF中，∴△CAF≌△HAF(SAS)，∴∠ACD=∠AHF.∵CD⊥AB，∠ACB=90°，∴∠CDA=∠ACB=90°，∴∠B+∠CAB=90°，∠CAB+∠ACD=90°，∴∠ACD=∠B=∠AHF，∴FH∥CE.∵CD⊥AB，EH⊥AB，∴CF∥EH，∴四边形CFHE是平行四边形.又∵CE=EH，∴四边形CFHE是菱形.2.证明：(1)∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°.∵BE=AB-AE，DG=AD-AG，∴BE=DG,∴△BEF≌△DGF，∴BF=DF.(2)BE∶CF=.3.证明：(1)∵△ABE是等边三角形，EF⊥AB，∴∠AEF=∠AEB=30°，AE=AB，∠EFA=90°.∴∠AEF=∠BAC.又∵∠ACB=90°，∴∠EFA=∠ACB.∴△AEF≌△BAC(AAS),∴AC=EF.(2)∵△ACD是等边三角形，∴AC=AD，∠DAC=60°.由(