奇异系统的分解.DOC

第6章 奇异系统的分解 6.1 导论 在这一章中，我们开始关注更加一般类型的线性时不变系统的结构分解，即线性奇异（descriptor）系统。奇异系统通常在文献中也称为广义系统（generalized systems），出现在许多实际应用中，包括工程系统，经济系统，网络分析和生物系统中（可参见Dai [43]，Kuijper [79]和Lewis [80]）。事实上，现实生活中的许多系统在本质上是奇异的。因为缺乏有效的工具来处理奇异系统，常常用正则系统来简化或近似它。在近三十年中，不管是利用代数还是几何方法的线性奇异系统的结构分析都得到了许多学者的相当关注（参见Chu和Mehrmann [37]， Chu和Ho [38]，Fliess [53]，Geerts [57]，Lewis [80-82]，Lewis和Ozcaldiran [83]，Loiseau [93]，Malabre [97]，Misra等[99]，Van Dooren [143，144]，Verghese [146]，Zhou等[161]，以及其中的参考文献）。一般说来，几乎所有涉及奇异系统的研究工作都是对相应正则系统的自然推广，尽管这些推广并不是直接的。 对非奇异系统，象有限和无限零点结构，可逆结构这样的系统结构性质已经充分展示了在解决各种控制问题中所发挥的重要作用，包括，控制和干扰解耦（参考[22]和[120]）。然而奇异系统的结构特性和它们在奇异系统控制问题中的应用在文献中就没有得到应有的重视。在这一章中，我们将给出一般多变量线性奇异系统的结构分解技术。和第5章的系统相对应，这样的技术可以捕获和揭示一般奇异系统的结构特性。也可以认为是第5章正则系统对应结果的自然推广。但是很快就会发现对一般多变量奇异系统进行结构分解更加复杂。可以预计这样的分解技术能够成为解决大量奇异系统控制问题的有力工具，如和控制，模型降阶和干扰解耦，这只是其中的几个例子而已。这一章的结果，特别是对连续时间系统，主要是根据[64,65]中已有的研究结果。 我们考虑一个连续时间系统，表示为 其中，和分别是系统的状态，输入和输出，，，，和是具有适当维数的定常矩阵。如果，则系统是奇异的。通常为了避免系统的解的任何歧义性，在整章中我们都假设给定的奇异系统是正规（regular）的，即对所有的有。传统上，Kronecker规范形（严格等价变换下的矩阵束（matrix pencil）的传统形式）在奇异系统的结构分解分析中得到了广泛应用。Malabre [97]提出了一种几何方法和引入了奇异系统的结构不变性。从那篇文章中可以看出有些定义和其它直接从矩阵束（matrix pencil）工具中推出的结果是一致的。它把许多几何和结构方面的结果从正则系统推广到了奇异系统。 在第3章的正则系统中已经看到Kronecker规范形揭示了系统的有限和无限零点结构（即不变指数，invariant indices），以及左和右零空间结构。可以把同样的技术移植到奇异系统不变指数的定义中（见Malabre [97]）。我们知道如果存在具有适当维数的非奇异定常矩阵和，使得 则两个维的矩阵束和是严格等价的。 在Gantmacher [56]中已经证明在严格等价意义下，任何矩阵束都可以变换到规范准对角形，即 在本章中，我们将关注 即和相关联的（Rosenbrock）系统矩阵束。在（6.1.3）中，和分别是和双对角束， 是约当规范形，有以下个束作为它的对角块， ，，是幂零和约当规范形，有以下个束作为它的对角块， 。则是在，的有限基本因子。指标集和分别是右和左最小指数。是无限基本因子。的结构不变性定义是基于它的系统束的不变指数。对于奇异系统，右和左可逆指数分别是系统束的右和左的最小指数，奇异系统的有限和无限零点结构和系统束的有限和无限基本因子相关联。 注意奇异系统的系统束的不变指数的计算非常简单。不失一般性，我们假设的形式是 所以，和就有相应地分块 把（6.1.4）的系统束重新写为 容易发现的不变指数等价于由所表示的正则系统的不变指数。因而可以计算出所有的不变指数（参见[91]）。从（6.1.10）也可得奇异系统的Kronecker规范形并不能捕获系统的所有结构特性，因为它和正则系统的是一样的！在这一章中，我们的精力并不放在不变指数的计算上，而是在推导可以把给定系统的状态空间分解到几个不同部分的构造性算法，这些部分和有限和无限零点动态，以及给定系统的可逆结构直接相关。 有趣的是奇异系统和正则系统在结构方面有本质的差别。对于奇异系统来说，我们很快就会发现有些状态变量完全是零，表明奇异系统的状态轨迹通常并没有张成整个空间，有一些则是输入变量和它们的导数的线性组合。这一章所给出的分解技术将能够自动和显示地分离出奇异系统的允余动态（r