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2007年第48届IMO中国国家集训队测试及选拔试题与解答
48 IMO
48 IMO
2007 3 15
-2007 4 2
48 IMO ( )
1. Æ p 2
p Æ p Æ
a , a , , a ε n ε = cos 2π +
1 2 n
n
i sin 2π . Æ a , a , , a ()
1 2 n
n
a + a ε + + a εn−1 = 0.
1 2 n
n = 6 1 (). Æ
( 1), 0.
℄ ( 2).
a a , a ε, , a εn−1 . 0,
1 1 2 n
a + a ε + + a εn−1 = 0. ℄
1 2 n
p a , a , , a p Æ
1 2 p
2π 2π
ζ = cos + sin
p p
P (X ) = a + a X + + a Xp −1
1 2 p
ζ Q(X ) = 1+ X + + Xp −1
Q(X )
1
( Q(X + 1)
).
℄ p p = mn (m, n 1 ).
ζn m
1 + ζ + ζ2 + + ζ (m−1)n = 0.
1 + ζ + ζ2 + + ζp −1 = 0.
ζ p − 1 1,
2. p Æ 1, 2.
ÆÆ
2
2. I ∆ABC M, N AB, AC D, E
AB, AC BD = CE = BC , ℄ D IM ℄ E
IN P , AP ⊥BC .
( ): O ∆ABC DE ⊥ OI .
4, B, E CI BE L, ∆ABC H .
CI ∠A O, M, H CH ⊥ BE , OH ⊥ AB .
H, B, L, M ∠IHO = ∠EBD.
∆ABC R. L BE
BH = IH ,
OH R 1 1 2HB HI
= = = = = .
BD BC
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