专题09 无处不考的函数性质问题-备战2016年高考高三数学热点难点一网打尽.docVIP

【备战2016年高考高三数学一轮热点、难点一网打尽】 第09讲 无处不考的函数性质问题 考纲要求: 1.理解函数的单调性，会讨论和证明函数的单调性． 2.理解函数的最大(小)值及其几何意义，并能求函数的最大(小)值. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函数值及求参数值等问题是重点，也是难点． 基础知识回顾: 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2 当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数 当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f (x )在区间D上是减函数 图象 描述 自左向右图象是上升的 自左向右图象是下降的 (2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x)的单调区间． ．奇、偶函数的概念 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数． 一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数． 奇函数的图像关于对称；偶函数的图像关于对称奇函数在关于原点对称的区间上的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性. ④若f(x)是奇函数，且在x＝0处有定义，则若f(x)为偶函数，则f(x)＝f(|x|)． 两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的和、积都是偶函数； 一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数．．为非零实数，对于定义域内的任意，总有恒成立，则叫做周期函数，叫做这个函数的一个周期。 （2）周期函数的性质：①若是函数的一个周期，则(也是它的一个周期；②若的周期中，存在一个最小的正数，则称它为的最小正周期；③如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的最小正周期是。 【注】如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的周期是；如果对于函数定义域中的任意，满足，则得函数的对称轴是。 应用举例: 类型一、利用函数性质解决函数零点问题 【例1】已知f(x)是R上的最小正周期为2的周期函数，且当0≤x＜2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图像在区间[0,6]上与x轴的交点的个数为(　　) A．6 B．7C．8 D．9 若函数y＝f(x)(xR)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x[－1,1]时，f(x)＝1－x2，函数 ，则函数h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,5]内的零点的个数为(　　) A．6个 B．7个 C．8个 ．9个 【例3】　(1)将函数y＝cosx＋sinx(xR)的图像向左平移m(m＞0)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是(　　) A.　　　B.　　　C.　　　D. 类型三、利用函数性质解决参数范围（或值）问题 【例4】已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋f()≤2f(1)，则a的取值范围是(　　) A．[1,2] B. C D．(0,2] 已知函数满足对任意的实数x1≠x2都有＜0成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(0,1) B. C. D. 解析：据题意要使原函数在定义域R上为减函数，只需满足，解得≤a＜. 点评：在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解．此时应特别注意函数的定义域． 【例】设ω＞0，若函数f(x)＝sincos在区间上单调递增，则ω的取值范围是(　　) A. B. C. D．[1，＋∞) 上单调递增，则＝≥＋＝，即ω∈，故选B. 点评：已知三角函数的单调区间求参数．先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解． 类型四、利用函数性质解决函数解析式问题 【例7】(x)是R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x3＋ln(1＋x)，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．－x3－ln(1－x) B．x3＋ln(1－x)C．x3－ln(1－x) D．－x3＋ln(1－x) 【例】　(1)已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2－x－1，求f(x)的解析式； 【例】已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝(　　) A．－3 B．－1C．1 D