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北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 本资源来自初中学科网（),欢迎使用更多本站资源！ 等腰三角形 知 识 回 顾 A B C 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高 互相重合。 等腰三角形的两个底角相等. 简称: 等边对等角. 顶角 A B C 底边 腰 腰 底角 底角 【定义】 【性质定理】 【性质定理 的推论】 有两边相等的三角形叫做等腰三角形; D 高 (简称:“三线合一”) 本资源来自初中学科网（),欢迎使用更多本站资源！ 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, ∠1=∠2 (已知). ∴BD=CD,AD⊥BC (三线合一). 左边方框中的的格式,以后可以直接运用. A C B D 1 2 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, BD=CD (已知). ∴∠1=∠2,AD⊥BC(三线合一). 如图,在△ABC中, ∵AB=AC, AD⊥BC(已知). ∴BD=CD, ∠1=∠2 (三线合一). 轮换条件∠1=∠2, BD=CD,AD⊥BC 可得三线合一的三种不同形式的运用. ”三线合一“的三种语言 及 条件的轮换 【性质定理的推论】 等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线、底边上的高 互相重合。 (简称:“三线合一”) 图形语言 高线 ?？ 符号语言 中线 ?？ 符号语言 角平分线 ?? 符号语言 本资源来自初中学科网（),欢迎使用更多本站资源！ 本节课学些什么？ 等腰三角形还具有哪些重要的性质? 除了用定义来判定三角形是等腰三角形外, 还有一些什么简单的方法来判定三角形是等腰三角形? 这就是本节课的学习的主要内容。 本资源来自初中学科网（),欢迎使用更多本站资源！ 实践?观察?猜想?证明 画一画 先画一个等腰三角形, A C B 然后在等腰三角形中作出一些线段 (如角平分线、中线、高线)， 你能发现其中一些相等的线段吗？ 你能证明你的结论吗？ 小结 顶角的平分线、中线、高线都分别只有一条，不能比较； 底角的两条平分线相等； 两条腰上的中线相等； 两条腰上的高线相等。 A C B D ● ● E ●● ●● A C B M N A C B P Q 本资源来自初中学科网（),欢迎使用更多本站资源！ “等腰三角形的两底角的平分线相等”的证明 【例1】证明:等腰三角形两底角的平分线相等. ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). A C B D E 图形语言 已知: 求证: BD=CE. 如图, 在△ABC中, AB=AC, BD,CE 是△ABC角平分线. 证明: 1 2 　 ∠2= (已知), 又∵∠1= ， ∴∠1=∠2(等式性质). 在△BDC与△CEB中 ∵ ∠DCB=∠ EBC（已知）, BC=CB（公共边）, 　∠1=∠2（已证）, ∴ △BDC≌△CEB（ASA）. ∴ BD=CE(全等三角形的对应边相等) 本资源来自初中学科网（),欢迎使用更多本站资源！ “等腰三角形的两腰上中线相等”的证明 证明: 等腰三角形两腰上的中线相等. BM=CN. A C B M N 已知: 求证: 如图,在△ABC中,AB=AC,BM, CN是△ABC两腰上的中线. 证明: (全等三角形的对应边相等) ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC= ∠ACB(等边对等角). 又∵CM= , BN=　 (已知), ∴CM=BN(等式性质). 在△BMC与△CNB中 ∵ BC=CB（公共边）, ∠MCB=∠NBC（已知）, 　CM=BN（已证）, ∴△BMC≌△CNB（SAS）. ∴BM=CN 本资源来自初中学科网（),欢迎使用更多本站资源！ “等腰三角形两腰上的高相等”的证明 证明: 等腰三角形两腰上的高相等. 证明: ∵AB=AC(已知), ∴∠ABC=∠ACB(等边对等角). 又∵ BP,CQ是△ABC两腰上的高(已知), ∴∠BPC= ∠CQB=90o(高的意义). 在△BPC与△CQB中 ∵∠BPC=∠CQB（已证）, 　 ∠PCB=∠QBC（已证）, BC=CB（公共边）, ∴△BPC≌△CQB（SAS）. ∴BP=CQ(全等三角形的对应边相等) 已知: 如图, 在△ABC中, AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的