D6二重积分.PPT

第五章 定积分与二重积分 §5.6 二重积分 本节内容 一、二重积分的概念 二、二重积分的性质 三、二重积分的计算 §5.6 二重积分 解法: 类似定积分解决问题的思想: 引例 曲顶柱体的体积 给定曲顶柱体: 底： xoy 面上的闭区域 D 顶: 连续曲面 侧面：以 D 的边界为准线 , 母线平行于 z 轴的柱面 求其体积. “大化小, 常代变, 近似和, 求 极限” 一、二重积分的概念 §5.6 二重积分 1)“大化小” 用任意曲线网分D为 n 个区域 以它们为底把曲顶柱体分为 n 个 2)“常代变” 在每个 3)“近似和” 则 中任取一点 小曲顶柱体 §5.6 二重积分 4)“取极限” 令 §5.6 二重积分 定义: 将区域 D 任意分成 n 个小区域 任取一点 若存在一个常数 I , 使 可积 , 在D上的二重积分. 积分和 积分域 被积函数 积分表达式 面积元素 记作 是定义在有界区域 D上的有界函数 , §5.6 二重积分 引例中曲顶柱体体积: 如果 在D上可积, 也常 二重积分记作 这时 分区域D , 因此面积元素 可用平行坐标轴的直线来划 记作 §5.6 二重积分 二重积分存在定理 若函数 定理 在D上可积. 在有界闭区域 D上连续, 则 二重积分几何意义 表示以积分区域 D 为底、以曲面 为顶的曲顶柱体的体积. §5.6 二重积分 二、二重积分的性质 ( k 为常数) §5.6 二重积分 特别, 由于 则 5. 若在D上 ? 为D 的面积, 则 §5.6 二重积分 7.(二重积分的中值定理) 在闭区域D上 ? 为D 的面积 , 则至少存在一点 使 连续, 6. 设 D 的面积为? , 则有 §5.6 二重积分 例1. 比较下列积分的大小: 其中 解: 积分域 D 的边界为圆周 它与 x 轴交于点 (1,0) , 而域 D 位 从而 于直线的上方, 故在 D 上 §5.6 二重积分 设曲顶柱的底为 任取 平面 故曲顶柱体体积为 截面积为 截柱体的 三、二重积分的计算 §5.6 二重积分 同样, 曲顶柱的底为 则其体积可按如下两次积分计算 §5.6 二重积分 利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时, 若D为 X – 型区域 则 若D为Y –型区域 则 §5.6 二重积分 说明: (1) 若积分区域既是X–型区域又是Y –型区域 , 为计算方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序. 则有 (2) 若积分域较复杂,可将它分成若干 X-型域或Y-型域 , 则 §5.6 二重积分 例2. 计算 其中D 是直线 y＝1, x＝2, 及 y＝x 所围的闭区域. 解法1. 将D看作X–型区域, 则 解法2. 将D看作Y–型区域, 则 §5.6 二重积分 例3. 计算 其中D 是抛物线 所围成的闭区域. 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, 及直线 则 §5.6 二重积分 例4. 计算 其中D 是直线 所围成的闭区域. 解: 由被积函数可知, 因此取D 为X – 型域 : 先对 x 积分不行, 说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序. §5.6 二重积分 例5. 交换下列积分顺序 解: 积分域由两部分组成: 视为Y–型区域 , 则