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1，若从t=0开始每隔0.5秒抛一枚均匀的硬币作试验，定义随机过程求：X(t)的一维分布函数和X(t)的二维分布函数（2）X(t)的均值函数和方差函数解：硬币出现正、反面得概率均为1/2tX(t)的分布X(t)的分布函数1/212，设为参数为σ2的维纳过程, 求积分过程的均值函数和相关函数。解：设，由与的对称性维纳过程是均方连续, 均方不可导, 均方可积的二阶矩过程.假设乘客按照参数为λ的poisson过程来到一个火车站乘坐某次列车，若火车在时刻t启程，试求在[0，t]内到达车站乘坐该次列车的乘客等待时间总和的数学期望。设在时间间隔[0，τ]内到达的乘客数为，则时间间隔[0，t]内乘客的总等待时间为，平均总等待时间为某人备有r把伞用于上下班. 如果一天的开始他在家(一天的结束他在办公室)中而且天下雨,只要有伞可取到,他将拿一把到办公室(家)中. 若天不下雨那么他不带伞.假设每天的开始(结束)下雨的概率为p,且与之前下不下雨独立. (1)定义一个有r+1个状态的Markov链并确定转移概率; (2)计算极限分布; (3)这人被雨淋湿的平均次数,所占比率是多少(称天下雨而全部伞却在另一边为被淋湿)?设{Xn}为此人在第n天身边拥有的雨伞数,则I={0, 1,2,…,r},注意到下雨才用伞,而每天的开始下不下雨与之前独立,即知为Markov链.该链的一步转移概率为:于是计算极限分布的状态方程，记，解之得显然处于的极限状态才可能被淋湿,但每天的开始(结束)下雨的概率为p, 所以此人被雨淋湿的平均次数,所占比率即被淋湿的概率为某一个只有一名理发师的理发部，至多容纳4名顾客。顾客的平均到达率为每小时3人（Poisson），理发的平均时间为15分钟，试分析该排队系统的运行情况。解：将此排队系统抽象为模型利用流平衡方程组可以得到与模型具有相同形式的状态概率分布：（）再利用正规方程即可求得系统空闲的概率：（1）计算顾客一到达即刻就能得到服务的概率，（2）理发部内的平均顾客数和队列中等待的平均顾客数（3）有效的到达率（人/小时）（4）顾客在理发部的平均逗留时间和平均等待时间（小时）（分钟）（小时）（分钟）（5）顾客的损失率证明泊松过程{X(t), t0}为连续时间齐次马尔可夫链。先证马尔可夫性。泊松过程是独立增量过程，且X(0)=0，对任意0t1 t2 tn tn+1有另一方面所以即泊松过程是一个连续时间马尔可夫链再证明齐次性当j i时当ji时,因增量只取非负整数值,故pij(s,t)=0，所以转移概率与s无关，泊松过程具有齐次性。
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