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例3 有一沿x轴方向运动的弹簧振子，振子相邻两次通过- A/2处所经历的时间为1/150 s。令第一次通过该点作初始时刻，第二次通过该点时，运动方向与 x 轴正方向一致，振子通过平衡位置时的 vmax=10? m/s。求：该振子的振动方程。 解：如图所示，由旋转矢量法可知 振动方程为： x ? O ① ② ?0 -A/2 ? 例4 倔强系数分别为k1，k2的两根弹簧和质量为m的物体相连（如图），求该系统的振动周期。 k1 m k2 x1 x2 * 第3章 振动与波动 简谐振动 哈尔滨工程大学理学院 * 3.1.1 振动与简谐振动 振动：物体在同一路径的一定位置附近作重复往返运 动称为机械振动。 周期性振动——在T 时间内运动状态能完全重复。 特点 有平衡点，且具有重复性。 非周期性振动——在T 时间内运动状态不能完全重复。 第3章 振动与波动 3.1 简谐振动 弹簧振子：质量忽略不计的弹簧与质点构成的系统。即将惯性集中在质点上，将弹性集中在弹簧上。 简谐振动 在无阻尼情况下弹簧振子的运动。 令 积分常数，根据初始条件确定 图 图 图 取 3.1.2 描述简谐振动的物理量 1.振幅 2.周期和频率 弹簧振子周期 周期 频率 圆频率 周期和频率仅与振动系统本身的物理性质有关 注意 图 （1） 存在一一对应的关系； 相差2n?(n为整数)质点运动状态全同。(周期性) （2）相位在0～2?内变化，质点无相同的运动状态； 3.相位 （3）初相位 描述?质点初始时刻的运动状态。 ( 取 或 ) 图 简谐运动中，x和v间不存在一一对应的关系。 初始条件 对给定振动系统，周期由系统本身性质决定，振幅和初相由初始条件决定。 3.1.3 由初始条件决定振幅和初相 取 已知 ，求　　。　 讨论 3.1.4　简谐振动的矢量图表示法 旋转矢量法 以 为 原点旋转矢 量 的端点 在 轴上的 投影点的运 动为简谐运 动。 当 时 以 为 原点旋转矢 量 的端点 在 轴上的 投影点的运 动为简谐运 动。 时 旋转 矢量 的 端点在 轴上的投 影点的运 动为简谐 运动。 （旋转矢量旋转一周所需的时间） 用旋转矢量图画简谐运动的 图 讨论 相位差：表示两个相位之差。 （1）对同一简谐运动，相位差可以给出两运动状态间变化所需的时间。 ? 同步 （2）对于两个同频率的简谐运动，相位差表示它们间步调上的差异。（解决振动合成问题） 为其它 超前 落后 反相 0.05 （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度； 例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹簧的劲度系数k=0.72N/m，物体的质量m=20g。 （3）如果物体在x=0.05m处时速度不等于零，而是具有向右的初速度v0=0.30m/s，求其运动方程。 （1）把物体从平衡位置向右拉到x=0.05m处停下后再释放，求简谐运动方程； 解：（1）　 由旋转矢量图可知　　 解： 由旋转矢量图可知　　 （负号表示速度沿 轴负方向）　 （2）求物体从初位置运动到第一次经过 处时的速度； （3）如果物体在x=0.05m，处时速度不等于零，而是具有向右的初速度v0=0.30m/s，求其运动方程。 解： 因为 ，由旋转矢量图可知　　 3.2 无阻尼自由振动实例　　 以挂上m后新平衡位置为坐标原点O，向下为正方向。 3.2.1 竖直弹簧振子 在x处 化简得 满足简谐振动的动力学方程 x′ 在o′x′系中，微分方程为： 3.2.2 单 摆 则在角位移很小的时候，单摆的振动是简谐振动。角频率，振动的周期分别为： 当 时 l m + - J为m绕O点转动的转动惯量。 3.2.3 复摆（物理摆） 可见，复摆的运动也满足谐振动 方程，且其圆频率与周期为 当 时 简谐振动的判断式 平动 转动 3.3 简谐系统的能量 线性回复力是保守力，作简谐运动的系统机械能守恒。 以弹簧振子为例 （振幅的动力学意义） 简 谐 运 动 能 量 图 4 T 2 T 4 3