2.3最小方差无偏估计与有效估计.pdfVIP

2.3 最小方差无偏估计和有效估计 最小方差无偏估计是在某种意义下的最优估计，两 者既有区别又有密切的关系，如果求出参数θ 的一个估计 ˆ 量θ ，则判别其是否为最小方差无偏估计或有效估计，就 具有重要的意义。倘若能直接求出参数θ 的最小方差无偏 估计，则将更加令人满意，本节将研究这些问题。 一.最小方差无偏估计 由定义 2.4 知，最小方差无偏估计(MVUE)是在无偏 估计类中，使均方误差达到最小的估计量，即在均方误 差最小意义下的最优估计。它是在应用中，人们希望寻 求的一种估计量。 ˆ ˆ θ X ( ) 是θ 的一个无偏估计， θ ∞，若对任 定理 2.7 设 D 何满足条件：EL(X ) 0 ,DL(X ) ∞的统计量L(X ) ，有 ˆ E [L (X ) (X )] 0 θ ˆ θ θ X 是 的 MVUE。其中Χ (=Χ , Χ , , Χ ) . 则 ( ) 1 2 n ˆ θ X θ 证明 设 1 ( ) 是 的任一无偏估计， ˆ ˆ Χ θ =Χ 记L( ) 1 ( ) −θ(Χ) ，则L(X ) 为 0 的无偏估计，由 1 ˆ ˆ ˆ Dθ X ( ) [ ( ) ( )] ( ) ( ) 2 {[ ( ) 于 1 D L X =+θ X DL X =+Dθ X + E L X ˆ ˆ ( )][ ( ) E (X )]} −EL X θ X − θ ˆ ˆ DL(X ) D (X ) D (X ) + θ ≥ θ 故 ˆ( ) θ θ X 是 的 MVUE。 例 2.19 设 2 Χ (=Χ , Χ , , Χ ) 是来自正态总体N (µ,σ ) 的 1 2 n *2 2 一个样本，已知Χ和Sn 分别是µ和σ 的无偏估计，证明Χ *2 2 和Sn 分别是µ和σ 的 MVUE。 证明（略）设L(X ) 满足EL(X ) 0 ，则有