第十讲 动量矩定理.docVIP

第十章 动量矩定理第1节 动量矩动量定理建立了质点、质点系动量主矢的改变与 外力系主矢的关系。 若当质心为固定轴上一点时， v C =0，则其动量恒等于零，质心无运动，这时用动量定理无法得到质点系的运动规律。 动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。 一、质点的动量矩 图10-1-1-1 质点动量对点的矩示意图 质点对点O的动量矩： M 0 (mv)=r×mv 质点对轴 z 的动量矩： M z (mv)=xm v y ?ym v x 正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负，逆时针为正。 质点对点O的动量矩与对轴z 的动量矩之间的关系： [ M o (mv)] z = M z (mv) 动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱。 二、质点系的动量矩 质点系对轴o动量矩： L O = ∑ M O ( m i v i )= ∑ r i × m i v i 质点系对轴z动量矩： L z = ∑ M z ( m i v i )=[ L O ] ? z 三、刚体动量矩计算 1.平动刚体 L O = ∑ M O ( m i v i ) = ∑ r i × m i v c = r c ×m v c L z = M z (m v c ) 平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于将刚体的质量集中于质心时的动量对该点（轴）的动量矩。 2.定轴转动刚体 L z = M z ( m i v i )= ∑ m i r i ?ω= J z ?ω 定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。 3.平面运动刚体 L z = M z (m v C )+ J C ?ω 平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。 例1 已知: 滑轮A：m1，R1，J1； 滑轮B：m2，R2，J2 ； 物体C：m3 ， v3 ； 几何关系: R1=2R2。 求: 系统对轴O的动量矩。 图10-1-1-2 例1题图 解： 据各运动刚体的动量矩的计算式有 L O = L OA + L OB + L OC = J 1 ω 1 +( J 2 ω 2 + m 2 v 2 R 2 )+ m 3 v 3 R 2 将运动学关系 v 3 = v 2 = R 2 ω 2 = 1 2 R 1 ω 1 代入上式得 L O =( J 1 R 2 + J 2 R 2 + m 2 + m 3 ) R 2 v 3 第2节 动量矩定理一、质点的动量矩定理 图10-2-1-1 质点动量矩与力对点之矩示意图 由质点动量定理的微分形式 d(mv) dt =F 两边叉乘矢径r, 有 r× d(mv) dt =r×F 左边可写成 r× d(mv) dt = d dt (r×mv)? dr dt ×mv dr dt ×mv=v×mv=0??,??r×F= M O (F)? 而 dr dt ×mv=v×mv=0??,??r×F= M O (F)? 故 dr dt (r×mv)=r×F??,?? d dt [ M 0 (mv]= M O (F)? 质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。 将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得质点的动量矩定理的投影形式 d dt [ M x (mv)]= M x (F)? ? d dt [ M y (mv)]= M y (F)?? ? d dt [ M z (mv)]= M z (F)? 即质点对某固定轴的动量矩随时间的变化率，等于作用于质点的力对同一轴的矩。 若 M O (F)=0????( M z (F)=0) 则 M 0 (mv)=常矢量，( M z (mv)=常量) 称为质点的动量矩守恒。 质点动量矩定理的应用： 1．在质点受有心力的作用时。 2．质点绕某心（轴）转动的问题。 例1 已知单摆质量为m，长为l，t =0时 ?= ? 0 ，从静止开始释放。 求单摆的运动规律。 解： 将小球视为质点。受力分析、受力图如图示。 图10-2-1-2 例1题图及受力图 M O (F)= M O (T)+ M O (mg)=?mglsin?? 运动分析： v=l ? ˙ ?,?OM， M O (mv)=ml ? ˙ l=m l 2 ? 由动量矩定理 d dt M O (mv)= M O (F) 即 d dt (m l 2 ? ˙ )=?mglsin??????,??? ? ¨ + g l sin??=0 微幅摆动时， sin??≈?? ，并令 ω n = g l ，则 ? ¨ + ω n 2