4.4 反证法--.ppt

* * * 路边苦李 王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动. 王戎回答说:“树在道边而多子,此必苦李.” 小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李. 王戎是怎样知道李子是苦的呢?他运用了怎样的推理方法? 假设李子不是苦的，即李子是甜的， 那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢？ 那么，树上的李子还会这么多吗？ 　这与事实矛盾吗？说明李子是甜的这个假设是错的还是对的？ 所以，李子是苦的 王戎的推理方法是: 假设李子不苦, 则因树在“道”边,李子早就被别 人采摘而没有了, 这与“多子”产生矛盾. 所以假设不成立,李为苦李. 在你的日常生活中也有类似的例子吗?请举一个例子. 小华:不可能,我上午还在学校碰到了她和她妈妈呢! 上述对话中,小华要告诉妈妈的命题是什么? 小芳全家没有外出旅游. 妈妈:小华,听说邻居小芳全家这几天正在外地旅游. 小华是如何推断该命题的正确性的? 假设小芳全家外出旅游, 那么今天不可能碰到小芳, 与上午在学校碰到小芳和她妈妈矛盾, 所以假设不成立, 所以小芳全家没有外出旅游. 在证明一个命题时,人们有时先假设命题不成立,从这样的假设出发,经过推理得出和已知条件矛盾,或者与定义,公理,定理等矛盾,从而得出假设命题不成立,是错误的,即所求证的命题正确.这种证明方法叫做反证法(proof by contradiction）. 反证法是一种间接证法 反证法的一般步骤: 假设命题结论不成立 假设不成立 假设命题结论反面成立 与已知条件矛盾 假设 推理得出的结论 与定理，定义，公理矛盾 所证命题成立 你能说出下列结论的反面吗? a⊥b 2.d是正数 3.a≥0 4.a∥b a不垂直于b d不是正数,即d≤0 a＜0 a≠b 常用的互为否定的表述方式：不是——是；不存在——存在；不平行——平行；不垂直——垂直；不等于——等于；不都是——都是；不大于——大于；不小于——小于；至少有一个——一个也没有；至少有三个——至多有两个 至少有n个——至多有(n-1)个 试一试 例1、求证:在同一平面内,如果一条直线和两条平行直线中的一条相交,那么和另一条也相交. 已知: 直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3与l1相交于点P. 求证: l3与l2相交. 证明: 那么___________. 因为已知___________， 这与“________________________________________矛盾. 所以________________， 即___________________. l1 l2 l3 P l3与l2 不相交. l3∥l2 l1∥l2 经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线 所以过直线l2外一点P，有____________和l2平行， 两条直线 假设不成立 求证的命题正确 假设_________________， 试一试 已知：如图，直线a,b被直线c所截， ∠1 ≠ ∠2 求证：a∥b ∴∠1=∠2 (两直线平行,同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾 ∴假设不成立 证明：假设结论不成立，则a∥b ∴a∥b 求证:在同一平面内,如果两条直线都和第三条直线平行,那么这两条直线也互相平行. (1)你首先会选择哪一种证明方法? (2)如果你选择反证法,先怎样假设?结果和什么产生矛盾? 定理 已知:如图，l1∥l2 ,l 2 ∥l 3 求证：l１∥l３ l２ l１ l３ ∵l１∥l２ , l２∥l３, 则过点p就有两条直线l１、 l３都与l２平行，这与“经过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线”矛盾． 证明：假设l１不平行l３，则l１与l３相交，设交点为p. p ∴假设不成立，所求证的结论成立， 即 l１∥l３ （3）能不用反证法证明吗？你是怎样证明的？ 已知:如图,直线l与l1,l2,l3都相交,且l1∥l3,l2∥l3, 求证: l1 ∥ l2 l1 l2 l3 l ⌒ ⌒ 1 2 证明: ∵l1∥l3,l2∥l3(已知) ∴∠1=∠3， ∠2=∠3 (两直线平行,同位角相等) ∴∠1=∠2 ∴l1 ∥ l2（同位角相等，两直线平行） ⌒ 3 请问：哪类问题适合于用反证法去证明呢？ 宜用反证法证明的题型 （1）以否定性判断作为结论的命题； （2）某些定理的逆命题； （3）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题； （4）关于“唯一性”结论的命题； （8）涉及各种“无限”结论的命题等等。 （7）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段； （6）一些不等量命题的证明； （5）解决整