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第二章习题 对于下面的线性规划问题，以为基写出相对应的典式。 解：由题可以知： 取一个基，即：且 在matlab中可以计算得到： 由可得典式的目标函数： 由可得： 由此与题中线性规划问题相对应的典式为： 用单纯形法求解线面的线性规划问题，并在平面上画出迭代点走过的路线。 解：由题先将题中线性规划问题化为标准形： 由此可写出，即为： 则可以得出是一个单位矩阵，且，所以基是可行基，为基变量，为非基变量。基对应的基本可行解为：，其目标函数值。方程组已是典式，得到一张单纯形表如下： 2 1 0 0 0 0 0 2 5 1 0 0 0 60 1 1 0 1 0 0 18 3* 1 0 0 1 0 44 0 1 0 0 0 1 10 由题可知，， 检验数可由可得：不是负数，则当前解不是最优解，列中有三个元素大于零，取： 故转轴元为，为进基变量，为出基变量。 目前的新基为,进行旋转变换后得下表： 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 10 它对应的基本可行解为:,其目标函数值为。但为正数，仍不是最优解，此时以为转轴元，为进基变量，为出基变量，进行旋转变化得下表： 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 它对应的基本可行解为：，目标函数值为，此时检验数向量为负数，故为最优解。 用单纯形法求解下列线性规划问题： 、 解：由题先将题中线性规划问题化为标准形： 由此可以得到矩阵 则可以得出是一个单位矩阵，且，所以基是可行基，为基变量，为非基变量。基对应的基本可行解为：，其目标函数值。 由此写出最初的单纯性表： 2 1 -1 0 0 0 0 3 1 1 1 0 0 60 1* -1 2 0 1 0 10 1 1 1 0 0 1 20 由题可知，， 检验数可由可得：不是负数，则当前解不是最优解，列中有三个元素大于零，取： 故转轴元为，为进基变量，为出基变量。 进行旋转变换后得下表： 0 3 -5 0 -2 0 -20 0 4 -5 1 -3 0 30 1 -1 2 0 1 0 10 0 2* -3 0 -1 1 10 它对应的基本可行解为:,其目标函数值为。但为正数，仍不是最优解，此时以为转轴元，为进基变量，为出基变量，进行旋转变化得下表： 0 0 0 -35 0 0 1 1 -1 -2 10 1 0 0 1 0 15 0 1 0 5 它对应的基本可行解为：，目标函数值为，此时检验数向量为负数，故为最优解。 、 解：由此可以得到矩阵 则可以得出是一个单位矩阵，且，所以基是可行基，为基变量，为非基变量。基对应的基本可行解为：，其目标函数值。 由此写出最初的单纯形表： -1 1 -1 0 -1 1 0 0 0 0 3 0 1 1 0 6 0 1 2 -1 0 0 0 10 -1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 6 由题可知，， 检验数可由可得：不是负数，则当前解不是最优解， 故为进基变量，为出基变量。 进行旋转变换后得下表： 0 3 -5 0 -2 0 -20 0 4 -5 1 -3 0 30 1 -1 2 0 1 0 10 0 2* -3 0 -1 1 10 它对应的基本可行解为:,其目标函数值为。但为正数，仍不是最优解，此时以为转轴元，为进基变量，为出基变量，进行旋转变化得下表： 0 0 0 -35 0 0 1 1 -1 -2 10 1 0 0 1 0 15 0 1 0 5 它对应的基本可行解为：，目标函数值为，此时检验数向量为负数，故为最优解。 写出下面线性规划的对偶规划 解：由题可得，，， 有定义可得原问题的线性规划问题的对偶规划为： 按分量形式写出的对偶规划为： 把线性规划问题：记为， 用单纯形算法解； 写出的对偶； 写出的互补松紧条件，并利用他们解对偶。 解：（1）、由题将化为标准形式为： 由此可写出，即为： 则可以得出是一个单位矩阵，且，所以基是可行基，为基变量，为非基变量。基对应的基本可行解为：，其目标函数值。得到一张单纯形表如下： -1 0 -1 0 0 1 2 0 1 5 0 1 0 3 将第0行化成检验行为： 0 0 1 8 1 2* 0 1 5 0 1 0 3 它对应的为正数，仍不是最优解，以为进基变量，为出基变量，进行旋转变化得下表： 0 0 1 0 0 0 1 它对应的，所以问题的最优解为，最优值为： 、由题可得： 所以可得对偶规划： 、由题问题的最优解为以及互补松紧性定律可得： 由此解得： 由此对偶问题的最优解为：，最优值为： 用对偶单纯形法求解 、 解：由题将原问题写成标准形式： 所以有： 由题，以为基向量，单纯性表如下： -2 -3 -4 0 0 0 -1 -2 -