第2讲 圆周角定理与圆切线).docVIP

第2讲　圆周角定理与圆的切线 【2013年高考会这样考】 考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】 本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法. 基础梳理 1．圆周角定理 (1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半． (3)圆周角定理的推论 ①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线 (1)直线与圆的位置关系 直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系 相交 两个 d＜r 相切 一个 d＝r 相离 无 d＞r (2)切线的性质及判定 ①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角 (1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论 ①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半． ②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等． 双基自测 1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________． 解析　连接CP.由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知，AC2＝ AP·AB.∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4. 答案　6.4 2．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧eq \x\to(BC)上的点，已知∠BAC＝80°， 那么∠BDC＝________. 解析　连接OB、OC，则OB⊥AB，OC⊥AC，∴∠BOC＝180°－∠BAC＝100°， ∴∠BDC＝eq \f(1,2)∠BOC＝50°. 答案　50° 3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________． 解析　连接OC，OB，依题意得，∠COB＝2∠CAB＝2∠BCD＝60°，又OB＝OC， 因此△BOC是等边三角形， OB＝OC＝BC＝1，即圆O的半径为1， 所以圆O的面积为π×12＝π. 答案　π (2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________． 解析　连接BD，则有∠ADB＝90°.在Rt△ABD中，AB＝4，AD＝2，所以∠A＝60°；在Rt△ABC中，∠A＝60°，于是有∠C＝30°. 答案　30° 5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线PA相交于点A，若∠M＝30°，AP＝2eq \r(3)，则圆O的直径为________． 解析　连接OP，因为∠M＝30°，所以∠AOP＝60°，因为PA切圆O于P，所以OP⊥AP，在Rt△ADO中，OP＝eq \f(AP,tan ∠AOP)＝eq \f(2\r(3),tan 60°)＝2，故圆O的直径为4. 答案　4 考向一　圆周角的计算与证明 【例1】?(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________. [审题视点] 连结AD，BC，结合正弦定理求解． 解析　连接AD，BC.因为AB是圆O 的直径，所以∠ADB＝∠ACB＝90°. 又∠ACD＝∠ABD，所以在△ACD中，由正弦定理得：eq \f(CD,sin∠DAC)＝eq \f(AD,sin∠ACD)＝eq \f(AD,sin∠ABD)＝eq \f(ABsin∠ABD,sin∠ABD)＝AB＝3，又CD＝1，所以sin∠DAC＝sin∠DAP＝eq \f(1,3)，所以cos∠DAP＝eq \f(2,3)eq \r(2). 又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝eq \f(2,3)eq \r(2). 答案　eq \f(2,3)eq \r(2) 解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系． 【训练1】 如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________． 解析　连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠A