第2讲 排列及组合.docVIP

第2讲　排列与组合【2013年高考会这样考】1．考查排列组合的概念及其公式的推导．2．考查排列组合的应用．【复习指导】复习时要掌握好基本计算公式和基本解题指导思想，掌握一些排列组合的基本模式题的解决方法，如指标分配问题、均匀分组问题、双重元素问题、涂色问题、相邻或不相邻问题等．基础梳理1．排列(1)排列的概念：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．(2)排列数的定义：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Aeq \o\al(m,n)表示．(3)排列数公式Aeq \o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)．(4)全排列数公式Aeq \o\al(n,n)＝n(n－1)(n－2)…2·1＝n！(叫做n的阶乘)．2．组合(1)组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数．用符号Ceq \o\al(m,n)表示．(3)组合数公式Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq \f(n?n－1??n－2?…?n－m＋1?,m！)＝eq \f(n！,m！?n－m?！)(n，m∈N*，且m≤n)．特别地Ceq \o\al(0,n)＝1.(4)组合数的性质：①Ceq \o\al(m,n)＝Ceq \o\al(n－m,n)；②Ceq \o\al(m,n＋1)＝Ceq \o\al(m,n)＋Ceq \o\al(m－1,n). 一个区别排列与组合，排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无序”．取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合． 两个公式(1)排列数公式Aeq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,?n－m?！)(2)组合数公式Ceq \o\al(m,n)＝eq \f(n！,m！?n－m?！)利用这两个公式可计算排列问题中的排列数和组合问题中的组合数．①解决排列组合问题可遵循“先组合后排列”的原则，区分排列组合问题主要是判断“有序”和“无序”，更重要的是弄清怎样的算法有序，怎样的算法无序，关键是在计算中体现“有序”和“无序”．②要能够写出所有符合条件的排列或组合，尽可能使写出的排列或组合与计算的排列数相符，使复杂问题简单化，这样既可以加深对问题的理解，检验算法的正确与否，又可以对排列数或组合数较小的问题的解决起到事半功倍的效果．四字口诀求解排列组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘．”双基自测1．8名运动员参加男子100米的决赛．已知运动场有从内到外编号依次为1,2,3,4,5,6,7,8的八条跑道，若指定的3名运动员所在的跑道编号必须是三个连续数字(如：4,5,6)，则参加比赛的这8名运动员安排跑道的方式共有(　　)．A．360种 B．4 320种 C．720种 D．2 160种解析　本题考查排列组合知识，可分步完成，先从8个数字中取出3个连续的三个数字共有6种可能，将指定的3名运动员安排在这三个编号的跑道上，最后剩下的5个排在其他的编号的5个跑道上，故共有6Aeq \o\al(3,3)Aeq \o\al(5,5)＝4 320种方式．答案　B2．以一个正五棱柱的顶点为顶点的四面体共有(　　)．A．200个 B．190个 C．185个 D．180个解析　正五棱柱共有10个顶点，若每四个顶点构成一个四面体，共可构成Ceq \o\al(4,10)＝210个四面体．其中四点在同一平面内的有三类：(1)每一底面的五点中选四点的组合方法有2Ceq \o\al(4,5)个．(2)五条侧棱中的任意两条棱上的四点有Ceq \o\al(2,5)个．(3)一个底面的一边与另一个底面相应的一条对角线平行(例如AB∥E1C1)，这样共面的四点共有2Ceq \o\al(1,5)个．所以Ceq \o\al(4,10)－2Ceq \o\al(4,5)－Ceq \o\al(2,5)－2Ceq \o\al(1,5)＝180(个)，选D.答案　D3．(2010·山东)某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前两位，节目乙不能排在第一位，节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有(　　)．A．36种 B．42种 C．48种 D．54种解析　因为丙必须排在最后一位，因此只需考虑其余五人在前五位上的排法．当甲排在第一位时，有Aeq \o\al(4,4)＝24