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第七章 空间解析几何与向量代数 一 教材分析： 　本章首先把平面坐标系推广成空间坐标系，并相应地建立了空间点的距离公式，在本章里，向量成为解决空间解析几何问题的有力工具，因此，有必要对向量的运算作进一步的了解． 　　向量的代数运算需掌握几条原则： （１）除a×b=－b×a等外，数与向量的各种运算是和谐的，多数运算规律与纯粹数与数之间运算一致。 （２）向量的加减法，向量的数乘和向量的向量积运算结果为向量，而数量积混合积运算为数字，对于它们的定义要熟悉，坐标运算也要相当熟练。 （３）两直线垂直、平行的“充要条件”要熟记：∥ （４）要注意起点为，终点为的向量表达式，很多时候我们要依赖向量关系来建立平面或直线方程 （５）要提醒学生注意：由于维数推广，在三维空间中，一个方程表示曲面（包括平面）方程，注意与二维下的曲（直）线方程的联系与不同，而空间曲线（包括直线）方程由方程组给出。 （６）建立方程时要抓住方程特征如平面的法向量，直线的方向向量等，再结合动点（一般加一个定点建立向量）建立向量间的关系式（平行、垂直或成某一角度）最后利用数量积或向量积解决。 （７）本章介绍的空间曲面在坐标面上的投影及采用截痕法识别图形，直接为多元积分服务（尤其是三重积分），一定要打好基础。 二、教学要求： 1、掌握向量的概念，线性运算，数量积、向量积运算; 2、了解混合积的运算形式和几何意义； 3、掌握常见几种曲线曲面方程，熟悉投影方法；; 4、熟练掌握平面的点法式方程的建立，熟悉平面方程的各种形式; 5、熟练掌握空间直线的对称方程，熟悉直线方程的各种形式; 6、会合理建立平面和平面，平面与直线，直线与直线间的关系，并利用之求所要方程。 三、教学重点、难点： 重点：平面方程　直线方程 难点：曲面方程　投影方法 关键点：平面的法向量　直线的方向向量 四、教学内容及课时划分： 向量及其线性运算 ２课时 数量积　向量积　混合积 ２课时 曲面及其方程 2课时 空间曲线及其方程 １课时 平面及其方程 ２课时 空间直线及其方程 1课时 习题课 ２课时 合计 1２课时 五 本章知识结构图: 向量的加减法 向量的加减法 向量与数的乘法 向量与数的乘法 向量向量的数量积 向量 向量的数量积 向量的向量积 向量的向量积 向量的混合积 向量的混合积 平面→法向量和向量代数 平面→法向量 和向量代数 空间解析几何 直线→方向向量 直线→方向向量 平面和直线 平面和直线 距离 距离 夹角 夹角 曲线和曲面的表示 曲线和曲面的表示 空间曲线和曲面 空间曲线和曲面 二次曲面的分类 二次曲面的分类 第一节 空间直角坐标系 教学目的： 将学生的思维由平面引导到空间 使学生明确学习空间解析几何的意义和目的 教学重点、难点： 1.重点：空间直角坐标系的概念，空间两点间的距离公式 2.难点：空间思想的建立 教学课时：2 教学过程： 一、空间直角坐标系 1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。即以右手握住轴，当右手的四个手指从正向轴以角度转向正向轴时，大拇指的指向就是轴的正向。 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：轴、轴、轴，坐标面分别为面、面、面。坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。 图7－1右手规则演示图 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点的距离图 3．空间点的坐标表示方法。通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。试问A（1，2，3），B（-1，2，3），C（1，-2，-3）分别在哪个卦限？ 注意：特殊点的表示 a)在原点、坐标轴、坐标面上的点； b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。 二 空间两点的距离 若、为空间任意两点， 则的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为： 而 所以 特殊地：若两点分别为， 例1：求证以、、三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。 证明: 由于 ，原结论成立。 例2：设在