精编椭圆离心率解法(学生).docVIP

专题讲解 椭圆离心率的解法 椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。 运用几何图形中线段的几何意义 基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e， QDBAFOBBBP证明：①e= EQ \f(｜PF｜,｜PD｜)②e= EQ \f(｜QF｜,｜BF｜)③e= EQ \f(｜AO｜,｜BO｜)④e= EQ \f(｜AF｜,｜BA｜)⑤e= EQ \f(｜FO｜,｜AO｜) Q D B A F OBBB P 题目1：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？ BAF B A F2 F1 变形1：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，点P在椭圆上，使△OPF1 F1OOOOOOOOOOOOOOOOOOO F1 OOOOOOOOOOOOOOOOOOO P F2 F 解： 点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的 方程式，推导离心率。 二、运用正余弦定理解决图形中的三角形 FBAO题目2：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e? F B A O 变形：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)，e= EQ \f(-1+ EQ \r(,5) ,2), A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？ 引申：此类e= EQ \f( EQ \r(,5)-1,2)的椭圆为优美椭圆。 优美椭圆的性质： 1、∠ABF=90°； 2、假设下端点为B1 ,则ABFB1 四点共圆； 3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。 总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。 题目3：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)，过左焦点F1 且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e? 解： 题目4：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且 ∠PF1F2 =5∠PF2F1 ,求e?（可以考虑正弦定理的应用） 解： 点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知 e= EQ \f(sin F1PF2 ,sin F1F2P +sin PF1F2 )（※） 以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式. OB(X2,Y2)A(X1,Y1)题目5：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点， EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(OA))+ EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(OB))与 EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1( a))=(3,-1)共线，求e? O B(X2,Y2) A(X1,Y1) 由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。 题目6：椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，满足 EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(MF))1· EQ \o(\s\up 7(→),\s\do3\up 1(MF))2 =0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？ OF O F2 M F1 好题精练 1、椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)的两焦点为F1 、F2 ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1 ⊥X轴，PF2 ∥AB,求椭圆离心率e？ BA B A F2 F1 P O 2、椭圆 EQ \f(x2 ,a2 ) + EQ \f(y2 ,b2 )=1(ab 0)的两焦点为F1 （-c，0）、F2 (c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2 =60°，求e的取值范围？ MPF1F2O3、椭