初探三角函数图像平移变换.docVIP

初探三角函数图像的平移变换江苏 王怀学1、利用函数图像平移变换规律研究同名三角函数图像平移问题例1、为了得到函数的图象，可将函数的图象A．向右平移个单位 B．向左平移个单位 C．向右平移个单位 D．向左平移个单位解析：利用三角函数图像平移变换规律，即“左加右减，上加下减”，分别对A 、B、C选项进行逐个验证，只有C成立。点评：两个函数名称相同，可以直接用图像平移变换规律，即“左加右减，上加下减” 验证。还要记住左右平移变换，仅仅对x本身进行改变，如将函数的图象向右平移个单位，得到。2、异名三角函数图象平移一般要化为同名函数例2、为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ B ）A．向右平移个单位长度 B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度 D．向左平移个单位长度解析：将函数解析式化成余弦函数，得。将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象。点评：当平移前后函数名称不同，一般将函数是复杂的函数名化成较为简单的函数名。转化中，主要运用诱导公式，本题转换方法还有三种：（1）；（2）；（3）例3（2005天津卷）要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的(A)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）,再向左平行移动个单位长度(B)横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度解析：=，再搞清楚是将变换成，首先是横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到，再向左平行移动个单位长度，使中的消失，得到。答案：(C).3、利用向量的几何意义例4、若函数则的一个可能的值是（ ）A、 B、 C、 D、 解析：得则，解得。答案：A。点评：向量几何意义，即向量起点落在原点，中点坐标及时向量的坐标。函数图像按向量平移，可以分解为沿 x轴、y轴两个方向平移的合成。显然向量横坐标是正（负）数，则图像向右（左）平移，向量纵坐标是正（负）数，则图像向上（下）平移。这样将函数图像按向量平移，转化为函数图像的平移问题，最终运用函数图像的平移关系规律，研究三角函数平移变换问题。例5、设函数f(x)=a·b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R.（Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x；（Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+).由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2 x +)=－.∵-≤x≤，∴-≤2x+≤，∴2x+=-，即x=-.（Ⅱ）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象.由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+)+1.∵|m|，∴m=-，n=1.4、利用平移变换公式例6、已知函数的图象(部分)如图所示.(1) 求函数的解析式;(2) 若函数的图象按向量平移后得到函数的图象, 求向量m。解: (1)根据图象,∵周期∴.当时, ∴. ∵∴ ∴(2)函数的图象按向量平移后,得到即的图象∵∴, ∴点评：设函数的图象上任一点,函数的图象上对应点，由 ，得到代入，即 该函数解析式与函数为同一式子。利用平移变换公式，注意准确区分平移前后的函数解析式，不能混淆。 另一方面， 函数图像平移规律与按向量平移是统一的。函数的图象按平移，得，将该解析式变形后，得，用函数图像平移变换规律理解，函数的图象向右h，向上加k,也能得到函数的图象。向量横坐标是正数h，图像向右平移h个单位，这与“右减”是相符的，因为“右减”中的减是指中的减，不是h本身的负号。