求向量组秩与极大无关组.docVIP

求向量组的秩与极大无关组 　　对于具体给出的向量组，求秩与极大无关组的常用方法如下. 　　方法1 将向量组排成矩阵： (列向量组时)或(行向量组时) (*) 并求的秩，则即是该向量组的秩；再在原矩阵中找非零的阶子式，则包含的个列(或行)向量即是的列(或行)向量组的一个极大无关组. 　　方法2 将列(或行)向量组排成矩阵如(*)式，并用初等行(或列)变换化为行(或列)阶梯形矩阵(或)，则(或)中非零行(或列)的个数即等于向量组的秩，且是该向量组的一个极大无关组，其中是(或)中各非零行(或列)的第1个非零元素所在的列(或行). 　　方法3 当向量组中向量个数较少时，也可采用逐个选录法：即在向量组中任取一个非零向量作为，再取一个与的对应分量不成比例的向量作为，又取一个不能由和线性表出的向量作为，继续进行下去便可求得向量组的极大无关组. 　　对于抽象的向量组，求秩与极大无关组常利用一些有关的结论，如“若向量组(Ⅰ)可由向量组(Ⅱ)线性表示，则(Ⅰ)的秩不超过(Ⅱ)的秩”，“等价向量组有相同的秩”，“秩为的向量组中任意个线性无关的向量都是该向量组的极大无关组”等. 　　例1 求向量组，，，，的秩与一个极大无关组. 　　解 法1 ，所以向量组的秩为3；又中位于1，2，4行及1，2，4列的3阶子式 故是向量组的一个极大无关组(可知；均可作为极大无关组). 　　法2 由于的第1，2，4个行向量构成的向量组线性无关，故是向量组的一个极大无关组. 　　例2 求向量组，，，的秩和一个极大无关组. 　　解 　　 　　(1) 当且时，，故向量组的秩为3，且是一个极大无关组； 　　(2) 当时，，故向量组的秩为3，且是一个极大无关组； 　　(3) 当时，若，则，此时向量组的秩为2，且是一个极大无关组.若，则　，此时向量组的秩为3，且是一个极大无关组. 　　例3 设向量组的秩为.又设 ，， 求向量组的秩. 　　解 法1 由于，且 所以 故向量组与等价，从而的秩为. 　　法2 将看做列向量，则有 其中 可求得，即可逆，从而可由线性表示，故这两个向量组等价，即它们有相同的秩. 　　例4 设向量组(Ⅰ)：和向量组(Ⅱ)：的秩分别为和，而向量组(Ⅲ)：的秩为.证明：. 　　证 若和中至少有一个为零，显然有，结论成立.若和都不为零，不妨设向量组(Ⅰ)的极大无关组为，向量组(Ⅱ)的极大无关组为，由于向量组可以由它的极大无关组线性表示，所以向量组(Ⅲ)可以由，线性表示，故 的秩