实变函数论试题与答案.docVIP

实变函数论测试题 1、证明 。 证明：设，则，使一切，，所以, 则可知。设，则有,使，所以 。 因此，=。 2、设。求在内的，，。 解：， ， 。 3、若，对，存在开集, 使得且满足 ， 证明是可测集。 证明：对任何正整数， 由条件存在开集，使得。 令,则是可测集，又因， 对一切正整数成立，因而=0，即是一零测度集，故可测。由知可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合，。 解：在中去掉一个长度为的开区间，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为的两个开区间，以此类推，一般进行到第次时， 一共去掉个各自长度为的开区间，剩下的个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 。 所以最后所得集合的测度为，即。 5、设在上，且几乎处处成立，, 则有a.e.收敛于。 证明 因为，则存在，使在上a.e.收敛到。设是不收敛到的点集。，则。因此。在上，收敛到， 且是单调的。因此收敛到（单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集外，收敛于，就是 a.e. 收敛到。 6、设,是上有限的可测函数。证明存在定义于上的一列 连续函数，使得 于。 证明： 因为在上可测，由鲁津定理，对任何正整数,存在的可测子 集，使得，同时存在定义在上的连续函数，使得当 时有=。 所以对任意的，成立， 由此可得 。 因此 ，即，由黎斯定理存在的子列，使得 a.e于. 证毕。 7、设为a.e有限可测函数列，证明： 的充要条件是。 证明：若0，由于,则。 又，,,常函数1在上可积分，由 勒贝格控制收敛定理得。 反之，若（），而且，对， 令,由于函数,当时是严格增加函数， 因此。 所以，即。 8、试求 。 解 令，则为非负连续函数，从而非负可积。根据积分逐项积分定理，于是， 。 9、设，a.e.有限的可测函数列和，，分别依 测度收敛于和，证明 。 证明：因为 于是，成立 ， 所以 即 10、试从求证 。 证明：在时，，由L逐项积分定理， 另一方面 因此可得： 。