三余弦定理证明.docVIP

三余弦定理 设A为面上一点，过A的直线AO在面上的射影为AB，AC为面上的一条直线，那么∠OAC,∠BAC,∠OAB三角的余弦关系为： 　　cos∠OAC=cos∠BAC×cos∠OAB 通俗点说就是，cos平面斜线与平面直线夹角(OAC)=cos斜线射影与平面直线夹角(BAC)xcos平面斜线与斜线射影夹角(OAB)．又叫最小角定理或爪子定理，可以用于求平面斜线与平面内直线成的最小角． 　如上图，自点O作OB⊥AB于点B，过B作BC⊥AC于C，连OC，则易知△ABC、△AOC、△ABO均为直角三角形．cosθ1=AB∶OA，cosθ2=AC∶AB，cosθ=AC∶OA，不难验证：cosθ=cosθ1×cosθ2． 　例1　如图，已知A1B1C1－ABC是正三棱柱，D是AC中点，若AB1⊥BC1，求以BC1为棱，DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.(1994年全国高考理科数学23题) 例2　已知Rt△ABC的两直角边AC=2，BC=3．P为斜边AB上一点，现沿CP将此直角三角形折成直二面角A－CP－B（如下图），当AB=√7时，求二面角P－AC－B大小．(上海市1986年高考试题，难度系数0.28) 例3．已知菱形ABCD的边长为1，∠BAD=60°，现沿对角线BD将此菱形折成直二面角 A-BD-C(如图6)．( 1)求异面直线AC与BD所成的角；( 2)求二面角A-CD-B的大小．