多元函数概念 教案 - 山西大同大学.docVIP

第八章 多元函数 §8.1多元函数的概念 自变量只有一个的函数称为一元函数，有二个独立的自变量的函数称为二元函数，有三个独立的自变量的函数称为三元函数，…，自变量有一个的函数就称为元函数，二元及二元以上的函数统称为多元函数。 以前所学的函数都是一元函数，但是在实际问题中，所涉及的函数的自变量的个数往往不只是一个，有的是两个，甚至更多。例如，一个圆锥体的体积，它有两个独立的变量、。为此，就需要进一步讨论自变量为两个，或者更多情形下的多元函数。 本节以二个独立的变量为基础，首先给出二元函数的概念。 1．二元函数的概念 定义 设有两个独立的变量与在一定范围内取值，任取一组数值时，第三个变量就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量称为变量与的二元函数。记作 其中与称为自变量，函数称为因变量，自变量与取值范围称为函数的定义域，一般记为。 二元函数在点所取得的函数值记作 ，或 类似地，可定义二元函数、四元函数、…、元函数等多元函数。 2．二元函数的定义域 与一元函数相同，决定二元函数的要素仍然是定义域和对应法则。那么，二元函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。 对于一元函数的定义域一般来说是一个或几个区间，二元函数的定义域可以是整个坐标平面，可以是一条曲线，还可以是由平面上一条或几段光滑曲线所围成的连通的部分平面。整个坐标平面或由曲线所围成的部分平面称为区域，围成区域的曲线称为区域的边界，边界上的点称为边界点，包括边界在内的区域称为闭区域，不包括边界在内的区域称为开区域。开区域内的点称为内点。 如果一个区域(开域或闭域)中任意两点之间的距离都不超过某一常数，则称为有界区域，即一个区域可以被包含在一个以原点为圆心，适当长为半径的圆内；否则称为无界区域。 如同区间可用不等式表示一样，区域也可以用不等式或不等式组来表示。区域通常表示为或两种形式，前者称为型区域，后者称为型区域。最简单的区域有矩形域和圆形域，如图8—1所示。 例1 求的定义域 解 该函数的定义域为 图8—1 例2 求下列函数的定义域，并画出的图形。 （1） （2） 解 （1）要使得有意义，则需，即 故函数的定义域，此区域是一个矩形域。 （2）要使得有意义，则需 即 故函数的定义域，此区域是一个圆环。 3．二元函数的几何解释 是二元函数定义域内的任意一点，则相应的函数值是，有序数组确定了空间一点，当在内变动时，对应的点就在空间变动，即对应P点的轨迹就是函数的几何图形，它通常是一张曲面，其定义域就是此曲面在平面上的投影。 因此，二元函数在空间直角坐标中一般表示的是曲面。 §8.2 二元函数的极限及其连续性 一、二元函数的极限 与一元函数的极限类似，对于二元函数同样可以讨论当自变量与趋向于有限数值与时，函数的变化趋势，即二元函数的极限。 、趋于、可看作成点趋向点，记作或。 若，即，则就可表示。 在平面上，趋于的方式可以时多种多样的，因此二元函数的情况要比一元函数复杂得多。如果定义于的某一去心邻域的一个二元函数与一个确定的常数，当点以任意方式趋向点时，总是趋向于一个确定的常数，那么就称是二元函数当→时的极限。为了区别于一元函数的极限，则把二元函数的极限叫做二重极限 定义1 设函数在点的某一邻域内有定义（点除外），若点无限地趋于点时，恒有（是任意小的正数），则称为函数当时的二重极限，记为或。 用—语言严格给出定义1的二重极限的定义如下 定义2 对任意给定的正数，无论怎样小，总存在一正数，当满足 的一切恒有 成立，则常数称为函数当时的二重极限。 例1 函数 当沿轴趋于时，即， 当沿轴趋于时，即， 当沿着直线趋于时，，随着的取值不同，的值不同，所以不存在。 注 一元函数的极限，点只沿轴趋于0，但二元函数的极限要求点沿以任意方式趋向点，若沿轴或沿轴或沿平行与坐标轴的直线或沿某一条曲线趋于时的极限都存在，也不能确定它的极限不存在。 二、二重极限的运算法则 正像一元函数的极限一样，二重极限也有类似的运算法则 当时，， 则 (1) (2) (3) ，其中 例2 求极限 解 三、二元函数的连续性 像一元函数一样，可以利用二重极限来给出二元函数连续的概念 1．二元函数连续的概念 定义1 如果当点趋向点时，函数的二重极限等于在点处的函数值，则称函数在点处连续。如果在区域的每一点都连续，那末称它在区域连续。 二元连续函数的和，差，积，商(分母不为零）和复合函数仍是连续函数。一切多元初等函数在其定义区域内是连续的（多元初等函数是指由常数及其具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算得到的可用一个式子表示的多元函数）。 如果二元函数连续，又在其定义域内时，当在定义域内求函数在的极限，可把用直接代入计算二元函数在点的函