GMM推导.doc

GMM的推导 由独立同分布样本集合，应用EM算法估计高斯混合模型(GMM)的参数。 EM基本算法 观测数据，“隐”数据。 E步，计算在当前参数和观测数据的条件下，似然函数对的数学期望： (1) M步，计算参数的最大值，作为迭代结果： 或寻找，使得： E步 定义混合密度模型： (2) 其中参数，并且。 引入“隐”数据，其中，表示样本是由第个混合分量“产生”的，则： 对数似然函数可以表示为： (3) 令现在已知一个的“猜想”值，根据Bayes公式，有： (4) 而： (5) 其中：， 代入公式(1)有： (6) 其中：。 因，所以(6)式中最内层大括号的内容可以简化为： (乘法的分配率) (7) 将(7)代入(6)： (8) (8)式即为E步的结果。 M步 由(8)式可以看出，参数与不相关，可以分别进行优化。 先对进行优化，因有限定条件，引入Lagrange乘数，构造目标函数： 所以： (9) 等式两边对求和： 因此：，代入(9)，则有混合系数的迭代公式： (10) 其中可由(4)式计算。(10)式对任何的混合密度模型均成立。 下面针对特定的高斯混合模型GMM计算参数的递推公式，此时，分别为高斯分布的均值矢量和协方差矩阵： 代入到(8)式的后半部分，构造目标函数： 首先对求导数： 等式两边左乘，则有： 因此有均值的迭代公式： (11) 因与存在一一对应关系，因此对求极值可以转化为对求极值，首先将目标函数写成：(参见“Gauss分布参数估计”) 然后目标函数对求导： 因此有的迭代公式： (12) 总结 混合高斯模型参数的EM算法迭代公式为： ，其中均为Gauss分布