微分方程介绍表示未知函数及未知函数导数及自变量间的.ppt

微分方程介绍： 表示未知函数与未知函数导数及自变量间的关系式，为微分方程 常微分方程－ 一元函数 偏微分方程－ 多元函数 一阶微分方程，高阶微分方程 例：质量为m的物体只受重力作用自由下落，建立物体经历路程s与时间关系？ 牛顿第二定律： 二阶线性微分方程 二阶线性齐次方程 二阶线性常系数齐次方程 二阶线性微分方程常用定律 定理 1 如果 y1 和y2 是上述方程的解， 则 y＝C y1+B y2 ， 也是方程的解。 定理 2 如果 y1 和y2 是上述方程的解，且线性无关， 则 y＝C y1+B y2 是方程 的通解。 二阶常系数线性微分方程的解法： 设：解的形式为 带入方程后可得： 可得: 特征方程 特征根 特解： 通解： (1) ， 线性无关 通解 (2) ， 通解 (3) ， 复根 通解： 欧拉公式： 通解的实数表达形式： 通解： 二阶线性常系数微分方程举例：谐振子 小球只受到恢复力的作用： 无阻尼，无外力作用的情况： 牛顿第二定律： 设 特征方程： 特征根： 通解： 小球的势能： 有阻尼，无外力作用的情况： 阻力总是与小球运动方向相反： 动力学方程： 有阻尼，有外力作用的情况： 这种情况称为受迫振动 受到周期性外力： 动力学方程： §6 定态Schrodinger方程 （一）定态Schrodinger方程 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （三）求解定态问题的步骤 （四）定态的性质 （一）定态Schrodinger方程 现在让我们讨论 有外场情况下的定态 Schrodinger 方程： 于是： V(r)与t无关时，可以分离变量 令： 代入 等式两边是相互无关的物理量，故应等于与 t, r 无关的常数 该方程称为定态 Schrodinger 方程，ψ(r)也可称为定态波函数，或可看作是t=0时刻ψ(r,0)的定态波函数。 此波函数与时间t的关系是正弦型的，其角频率ω=2πE/h。 由de Broglie关系可知： E 就是体系处于波函数Ψ(r,t)所描写的状态时的能量。也就是说，此时体系能量有确定的值，所以这种状态称为定态，波函数Ψ(r,t)称为定态波函数。 空间波函数ψ(r)可由方程 和具体问题ψ(r)应满足的边界条件得出。 （二）Hamilton算符和能量本征值方程 （1）Hamilton 算符 二方程的特点：都是以一个算符作用于Ψ(r, t)等于EΨ(r, t)。所以这两个算符是完全相当的（作用于波函数上的效果一样）。 是相当的。这两个算符都称为能量算符。 也可看出，作用于任一波函数Ψ上的二算符 再由 Schrodinger 方程： （2）能量本征值方程 （1）一个算符作用于一个函数上得到一个常数乘以该函数这与数学物理方法中的本征值方程相似。 数学物理方法中：微分方程 + 边界条件构成本征值问题； （2）量子力学中：波函数要满足三个标准条件，对应数学物理方法中的边界条件，称为波函数的自然边界条件。因此在量子力学中称与上类似的方程为束缚的本征值方程。 常量 E 称为算符 H 的本征值；Ψ称为算符 H 的本征函数。 （3）由上面讨论可知，当体系处于能量算符本征函数所描写的状态（简称能量本征态）时，粒子能量有确定的数值，这个数值就是与这个本征函数相应的能量算符的本征值。 将 改写成 （三）求解定态问题的步骤 讨论定态问题就是要求出体系可能有的定态波函数Ψ( r, t) 和在这些态中的能量 E。其具体步骤如下： （1）列出定态 Schrodinger方程 （2）根据波函数三个标准条件求解能量 E 的本征值问题，得： （3）写出定态波函数即得到对应第 n 个本征值 En 的定态波函数 （4）通过归一化确定归一化系数 Cn L L L L , , , , , , , 2 1 2 1 n n E E E y y y ， 本征函数 本征值： （四）定态的性质 （2）几率流密度与时间无关 （1）粒子在空间几率密度与时间无关 综上所述，当Ψ满足下列三个等价条件中的任何一个时，Ψ就是定态波函数： 1. Ψ描述的状态其能量有确定的值； 2. Ψ满足定态Schrodinger方程； 3. |Ψ|2 与 t无关。 （3）任何不显含t得力学量平均值与t 无关 作 业 周世勋 《量子力学教程》 2.2 题