不可定向封闭曲线的分类.PPTVIP

* * 拓樸圖論簡介 拓樸圖論(Topological Graph Theory)主要是研究如何把一個圖適當地畫在曲面(Surface)上，使得任意圖上的兩邊，除了端點之外，都沒有其他相交的點。例如： 可以畫在球面上滿足上述的要求，而 就辦不到。 拓樸模式(Topological Model) 當我們把圖畫在曲面上，圖中的每一邊都可以看成是空間中的一條封閉曲線(含頂點)，簡稱為空間中的曲線。這裡的空間是指3-維歐式空間。 定義1.1（Space Curve） 一條連接u與v兩點的曲線可以看成是一個連續函數 的值域，這裡的f是1-1函數，而且 以及 ；在u=v的情況下 是1-1函數。 定義1.2（Topological Model） 令 為任意圖。G的拓樸模式是指在3-維空間中有|Ｖ|個點及|Ｅ|條空間曲線來對應於Ｇ中的點及邊，使對應的空間曲線內部彼此的交集都是空集合。 經由拓樸模式所畫出來的圖直接用原圖Ｇ稱之。也就是說，把一般圖Ｇ想像成是已經畫在3-維空間中，同時滿足拓樸模式的規定，邊與邊之間，除了端點之外其他部分皆不相交。 定義1.3（Sphere） 一個球面是一個3-維歐式空間的集合，它包函所有的點 滿足 ，r是一個正實數。 刻劃一個曲面是否為球面的最著名定理非喬丹曲曲線定理莫屬。 定理1.4（Jordan Curve Theorem） 在球面（或平面）上的簡單封閉曲線（Simple Closed Curve）把球面（或平面）分隔成兩部份，也就是說在球面上（或平面上），任意連接不同部分中兩點的曲線必然與這封閉曲線相交。 定義1.5（Dount） 一個標準的甜甜圈（Standard Dount）是一個半徑為1的圓盤，以(2,0)為中心，繞著y軸旋轉所得到的曲體（Solid），如圖1.1所示 圖1.1:標準甜甜圈 一個輪胎面不是球面，這可以利用喬丹曲線定理加以證明：因為，在輪胎面上，我們可以找到一個簡單封閉曲線Ｄ，他無法將輪胎面分個成兩部份，如圖1.2中的Ｃ及Ｄ兩條封閉曲線。 定義1.6（Tours） 一個標準甜甜圈的表面稱為是輪胎面（Tours）。 圖1.2：Torus 定理1.7（Mobius Band） 一個莫比斯帶是由一個長方形帶經過扭轉（如圖1.3）後再連接所獲得的帶狀曲面。 圖1.3：Mobius Band 曲面（Surface） 在這一節中，我們將明確地定義曲面是什麼，同時也對於曲面的分類做進一步說明。 定義2.1（Topological Equivalence, Homeomorphism） 一個由X映至Y的連續函數f為一拓樸等價函數若且為若f是1-1，映成而且　　也是連續函數，此時Ｘ與Ｙ稱為是拓樸等價。 定義2.2（Surface） 一個曲面（Surface）是指一個在3-維歐式空間中的一個集合，它滿足對於集合中的每一個元素x，都存在一個鄰域（Neighborhood），它與下列兩個集合之一拓樸等價： （a）　　　　　　　　　 ， （b）　　　　　　　　　　　　 。 上述定義中的稱為 開單位平面圓盤，而 則是標準的半圓盤（Standard half-disk）。在曲面中具有鄰域與 拓樸等價的點稱為是內點（Interior point），不然是邊界點（Boundary Point）。 定義2.3（Boundaryless Surface） 每個點都是內點的曲面稱為無邊界曲面，例如歐式平面。 定義2.4（Closed Surface） 滿足下列條件的連通曲面稱為封閉曲面： （a）S是有限的，即存在一個球體B，使得 。 （b）S是無邊界曲面。 （c）如果 ，則 及 都在S中。 命題2.5 球與輪胎均為封閉曲面，而平面與莫比斯則不是。 證明：省略 定義2.6（Non-orientable Surface） 一個曲面如果它包含了一部份（部份曲面）與莫比斯帶拓樸等價，則此曲面稱為是一個不可定向的曲面。 定義2.7（Orientable Surface） 不是不可定向的曲面稱為是可定向曲面。 我們用　代表球面。然後再依遞迴方式建構　，它是在　 這個曲面上再加入一個把手（handle）所形成的曲面，參考圖2.1 。 定理2.8（Gross及Tucker）（可定向封閉曲面的分類） 每一個可定向封閉曲面必定和 之一的曲面拓樸等價。 圖2.1：加Handle 一個封閉曲面的虧格（Genus）就由它所等價的