线性代数测试试卷和答案.docVIP

线性代数（A卷） 　 一﹑选择题(每小题3分,共15分) 1. 设﹑是任意阶方阵,那么下列等式必成立的是( ) (A) (B) (C) (D) 2. 如果元齐次线性方程组有基础解系并且基础解系含有个解向量,那么矩阵的秩为( ) (A) (B) (C) (D) 以上答案都不正确 3.如果三阶方阵的特征值为,那么及分别等于( ) (A) (B) (C) (D) 4. 设实二次型的矩阵为,那么( ) (A) (B) (C) (D) 5. 若方阵A的行列式，则( ) (A) A的行向量组和列向量组均线性相关 (B)A的行向量组线性相关,列向量组线性无关 (C) A的行向量组和列向量组均线性无关 (D)A的列向量组线性相关,行向量组线性无关 二﹑填空题(每小题3分,共30分) 1 如果行列式有两列的元对应成比例,那么该行列式等于 ； 2. 设，是的伴随矩阵，则 ； 3. 设,是非齐次线性方程组的解,若也是它的解, 那么 ； 4. 设向量与向量正交,则 ； 5. 设为正交矩阵,则 ； 6. 设是互不相同的三个数,则行列式 ； 7. 要使向量组线性相关，则 ； 8. 三阶可逆矩阵的特征值分别为,那么的特征值分别为 ； 9. 若二次型是正定的，则的取值范围为 ； 10. 设为阶方阵,且满足,这里为阶单位矩阵,那么 . 三﹑计算题（每小题9分，共27分） 1. 已知，，求矩阵使之满足. 2. 求行列式的值. 3 求向量组的一个最大无关组和秩. 四﹑(10分)设有齐次线性方程组 问当取何值时, 上述方程组(1)有唯一的零解﹔(2)有无穷多个解,并求出这些解. 五﹑(12分)求一个正交变换,把下列二次型化成标准形: . 六﹑(6分)已知平面上三条不同直线的方程分别为 试证：这三条直线交于一点的充分必要条件为. 线性代数（A卷）答案 一﹑1. D 2. C 3. B 4. A 5. A 二﹑1. 0 2. 3. 1 4. 3 5. 1或-1 6. 7. 0 8. 9. 10. 三﹑1. 解 由得. (2分) 下面求. 由于 (4分) 而 . (7分) 所以 . (9分) 2. 解 (4分) (8分) (9分) . 3. 解 由于 (6分) 故向量组的秩是 3 ，是它的一个最大无关组。(9分) 四﹑解 方程组的系数行列式 (2分) ①当,即且时,方程组有唯一的零解; (4分) ②当时, ,方程组的系数矩阵为 , 它有一个二阶子式,因此秩()(这里),故方程组有无穷多个解.对施行初等行变换,可得到方程组的一般解为 其中可取任意数; (7分) ③当时, ,方程组的系数矩阵为 , 显然,秩()(这里),所以方程组也有无穷多个解.对施行初等行变换 可得方程组的一般解为 其中可取任意数. (10分) 五﹑ 解 二次型的矩阵为 , (2分) 因为特征多项式为 , 所以特征值是(二重)和. (4分) 把特征值代入齐次线性方程组得 解此方程组可得矩阵的对应于特征值的特征向量为 . 利用施密特正交化方法将正交化: , , 再将单位化得 ,, (8分) 把特征值代入齐次线性方程组得 解此方程组可得矩阵的对应于特征值的特征向量为 . 再将单位化得 . (10分) 令 则是一个正交矩阵,且满足 . 所以,正交变换为所求,它把二次型化成标准形 . (12分) 六﹑证明:必要性 由交于一点得方程组 有解,可知 (2分) 由于,所以 (3分) 充分性： , (5分) 因此方程组 有唯一解，即交于一点. (6分) 线性代数习题和答案 第一部分 选择题 (共28分) 单项选择题（本大题共14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。 1.设行列式=m，=n，则行列式等于（ ） A.