数学归纳法及有关题目.pdfVIP

谈谈数学归纳法 数学归纳法是一种常用的数学方法，用途很广，一些与正整数有关的命题往往都可以用 数学归纳法加以证明。 数学归纳法作为一种归纳性方法，在证题中需要从两个方面入手，一个方面就是针对一 些简单而具体的场合，实际地检验命题是否成立，这些检验一般是比较容易完成的。因为这 时只要将n 的一些具体值，通常是将n 1代入所要检验的命题，简单地算一算就可以了。 但是这些检验却是必不可少的，因为只有通过这些检验，我们才有理由承认所要证明的命题 是有可能成立的。因而才具备了进行归纳的基础。第二个方面，则是要在“命题已对较小的 n 值成立”的假设下，利用命题中的条件，数学中的原理和方法，并结合生活中公认的事实， 进行严密而正确地推理，推出“命题已对较大的n 值也成立”的结论。这个方面的检验，在 数学上通常叫归纳过渡，这是归纳法应用中更重要并且也更具有难度的一个方面。 下面看一个简单的例子。 例 1 设正数a , a , 构成了等差数列，证明 1 2 1 1 1 n 1   a  a a  a a  a a  a 1 2 2 3 n1 n 1 n 证 记该等差数列的公差为d ，由于数列的每一项皆为正，知d 0 ，如d 0 ，则 a1 a2 ，知等式显然成立。故下面只对d 0 的情形进行证明。 1 当n 2 时，有：左式 右式，知等式成立。 a  a 1 2 假设当n k 2 时等式已成立，即有 1 1 1 k 1   a  a a  a a  a a  a 1 2 2 3 k 1 k 1 k 则当n k 1 时，我们就有 1 1 1 1 k 1 1     a  a a  a a  a a  a a  a a  a 1 2 2 3 k 1 k k k 1 1 k k k 1 k 1 a  a k 1 a  a   k 1  ak 1  ak   k 1  ak 1  ak   a a a a a  k  d a a kd  a  k  d  1   1  k 1 k 1 k  1    1  1  