2009年秋季班综合题参考解答(学生版).pdfVIP

超越考研 §3、一元函数微积分综合训练 §3、一元函数微积分综合训练 §§33、、一一元元函函数数微微积积分分综综合合训训练练 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― ax−sinx 例1 例1 a,b,c 例例11 试确定常数 ，使得 lim = c≠ 0． 3 x→0 xln(1+t ) ∫b t dt 〖解〗极限反问题，无穷小比较，变限函数及其导数，定积分性质。 ax−sinx （1）∵lim = c≠ 0，且lim(ax−sinx)= 0， x→0 x 3 x→0 ln(1+t ) ∫b t dt x 3 ln(1+t ) ∴lim∫ dt= 0。 x→0 t b 3 ln(1+t ) （2）注意到被积函数f(t)= （如图）在原点附近恒正，从而，只有b= 0。 t ax−sinx L−rule a−cosx x(a−cosx) （3）于是，L= lim = lim = lim x 3 3 3 x→0 ln(1+t ) x→0 ln(1+ x ) x→0 ln(1+ x ) ∫ t dt x b a=1 x(a−cosx) a−cosx 1 1 = lim 3 = lim 2 = = c，即a=1,b= 0,c= 。■ x→0 x x→0 x 2 2 ――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――― 例2 例2 例例22 设 f(x)是以5为周期的连续函数，在x= 0的某邻域内满足 f(1+sinx)−3f(1−sinx)= 8x+α(x)，……① 其中α(x)是当x→ 0时x的高阶无穷小，且f(x)在x=1处可导，试求曲线y= f(x)在点M(6,f(6)) 处的切线。[2000年] 〖解〗关键：求f(6),f (6)。′ （1） f(6)= ? ∵ f(x)是以5为周期的连续函数， ∴ f(6)= f(1+5)= f(1)。→求 f(6)转化为求f(1) 在①式两边求 x→ 0 的极限